Question

【題目】材料閱讀：

如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)．

解決問題：

（1）圖①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)（無需寫解答過程）；

（3）如圖③所示的矩形ABCD，將矩形ABCD沿CM折疊后，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究點(diǎn)E的位置．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；（2）詳見解析；（3）E為AB的中點(diǎn)．

【解析】

（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解；
（2）以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求；
（3）由點(diǎn)E是矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可求得∠BCE=∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性質(zhì)可得BE與AB，邊之間的數(shù)量關(guān)系，從而可求出E點(diǎn)的位置．

解：（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，理由是：

∵∠A=40°，

∴∠ADE+∠DEA=140°，

∵∠DEC=40°，

∴∠BEC+∠DEA=140°，

∴∠ADE=∠BEC，

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；

（2）作圖如下：

（3）若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，

則△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

由折疊得：∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠BCD=30°，

∴BE=CE=AB，

即E為AB的中點(diǎn)．