【題目】圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí),鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為25 cm,設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M,鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A,∠MOA=α,且sinα=.
(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM;
(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC=55 cm,求鐵環(huán)鉤MF的長度.
【答案】(1)BM=5cm;(2)MF=50cm.
【解析】
(1)過M作與AC平行的直線,與OA、FC分別相交于H、N.那么求BM的長就轉(zhuǎn)化為求HA的長,而要求出HA,必須先求出OH,在直角三角形OHM中,sinα的值,且鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位即OM=5,可求得HM的值,從而求得HA的值;
(2)因?yàn)椤?/span>MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°,∠FMN=∠MOH,又因?yàn)?/span>sin∠MOA=,所以可得出FN和FM之間的數(shù)量關(guān)系,即FN=FM,再根據(jù)MN=HN-HM,利用勾股定理即可求出FM的長.
過M作與AC平行的直線,與OA、FC分別相交于H、N,
(1)在Rt△OHM中,∠OHM=90°,OM=25,
HM=OM×sinα=15,
所以OH=20,
MB=HA=25-20=5,
所以點(diǎn)M距地面的高度BM為5cm;
(2)∵鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切,
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°,∠FMN=∠MOH,
∴=sin∠MOA=,
∴FN=FM,
在Rt△FMN中,∠FNM=90°,MN=BC=AC-AB=55-15=40,
∵FM2=FN2+MN2,
即FM2=(FM)2+402,
解得:FM=50,
∴鐵環(huán)鉤的長度FM為50cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,正方形中,點(diǎn)是邊延長線上一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),與交于點(diǎn).
(1)如圖甲,求證:;
(2)如圖乙,連接,若,,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】、兩地相距30千米,已知甲、乙兩人分別騎自行車和摩托車從地出發(fā)前往地,途中乙因修車耽誤了些時(shí)間,然后又繼續(xù)趕路.圖5中的線段和折線分別反映了甲、乙兩人所行的路程(千米)與時(shí)間(分)的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖像提供的信息回答下列問題:
(1)甲騎自行車的速度是_________千米/分鐘;
(2)兩人第二次相遇時(shí)距離地________千米;
(3)線段反映了乙修好車后所行的路程(千米)與時(shí)間(分)的函數(shù)關(guān)系.請求出線段的表達(dá)式及其定義域.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)關(guān)于過原點(diǎn)的一條直線對(duì)稱,則這兩點(diǎn)就是互為鏡面點(diǎn),這條直線叫鏡面直線,如A(2,3)和B(3,2)是以y=x為鏡面直線的鏡面點(diǎn).
(1)M(4,1)和N(﹣1,﹣4)是一對(duì)鏡面點(diǎn),則鏡面直線為_____;
(2)以y=x為鏡面直線,E(﹣2,0)的鏡面點(diǎn)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A,C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F,點(diǎn)D,E的坐標(biāo)分別為(0,6),(﹣4,0),連接PD,PE,DE.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若d=|PD﹣PF|.請說明d是否為定值?若是定值,請求出其大。蝗舨皇嵌ㄖ,請說明其變化規(guī)律?
(3)求出△PDE周長取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B(4,3).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.
(3)直接畫出函數(shù)的圖象(不列表).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元,售價(jià)為每件30元,每個(gè)月可賣出180件;如果每件商品的售價(jià)每上漲1元,則每個(gè)月就會(huì)少賣出10件,但每件售價(jià)不能高于35元,設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元(x為整數(shù)),每個(gè)月的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;求x為何值時(shí)y的值為1920?
(2)每件商品的售價(jià)為多少元時(shí),每個(gè)月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為a,E.F分別是邊AD、BC的中點(diǎn),點(diǎn)G在CD上.且,DF、EG相交于點(diǎn)H.
(1)求出的值;
(2)求證:EG⊥DF;
(3)過點(diǎn)H作MN∥CD,分別交AD、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P是MN上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),△PDC的周長最小,并求△PDC周長的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過A(4,0) B(1,3)兩點(diǎn),點(diǎn)C 、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H
(1)求拋物線的解析式.
(2)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出△ABC的面積.
(3)點(diǎn)P是拋物線BA段上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△ABP的面積為3時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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