Question

綜合題
閱讀下列材料：
配方法是初中數學中經常用到的一個重要方法，學好配方法對我們學習數學有很大的幫助，所謂配方就是將某一個多項式變形為一個完全平方式，變形一定要是恒等的，例如解方程x²-4x+4=0，則（x-2）²=0∴x=2x²-2x+y²+4y+5=0
求x、y．則有（x²-2x+1）+（y²+4y+4）=0∴（x-1）²+（y+2）²=0．解得x=1，y=-2．x²-2x-3=0則有x²-2x+1-1-3=0∴（x-1）²=4．解得x=3或x=-1，根據以上材料解答下列各題：
（1）若a²+4a+4=0．求a的值．
（2）x²-4x+y²+6y+13=0．求（x+y）^-2011的值．
（3）若a²-2a-8=0．求a的值．
（4）若a，b，c表示△ABC的三邊，且a²+b²+c²-ac-ab-bc=0，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）運用完全平方公式將a²+4a+4=0變形為（a+2）²=0，即可求出a的值；
（2）首先將x²-4x+y²+6y+13=0分成兩個完全平方式的形式，根據非負數的性質求出x、y的值，再代入（x+y）^-2011即可解答；
（3）本題即用配方法解一元二次方程，先把左邊配成完全平方式，右邊化為常數，即可求解；
（4）先將已知等式利用配方法變形，再利用非負數的性質解題．

解答：解：（1）∵a²+4a+4=0，
∴（a+2）²=0，
∴a+2=0，
∴a=-2；

（2）∵x²-4x+y²+6y+13=0，
∴（x-2）²+（y+3）²=0，
∴x=2，y=-3，
∴（x+y）^-2011=（2-3）^-2011=-1；

（3）移項得，a²-2a=8，
兩邊同時加上1得，a²-2a+1=8+1，
配方得，（a-1）²=9，
a-1=±3，
解得a=-2，a=4；

（4）△ABC為等邊三角形．理由如下：
∵a²+b²+c²-ac-ab-bc=0，
∴2a²+2b²+2c²-2ac-2ab-2bc=0，
即a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+a²+c²-2ac=0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形．

點評：此題考查了配方法的運用，非負數的性質，完全平方公式，等邊三角形的判斷．解題的關鍵是構建完全平方式，根據非負數的性質解題．