【題目】在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=CD.

(1)如圖1,請(qǐng)連接AC,BD,求證:AC垂直平分BD;

(2)如圖2,若∠BCD=60°,ABC=90°,E,F(xiàn)分別為邊BC,CD上的動(dòng)點(diǎn),且∠EAF=60°,AE,AF分別與BD交于G,H,求證:AGH∽△AFE;

(3)如圖3,在(2)的條件下,若 EFCD,直接寫(xiě)出的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)

【解析】

試題(1)由題意分別求出A,C點(diǎn)在BD垂直平分線上,所以AC就是BD的垂直平分線.(2) ,將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到ADM.連接ACBDO先證明FD、M共線,再通過(guò)倒角得到GAH=∠FAE所以AGH∽AFE

(3)連接ACBDO,作HMADM, 設(shè)HM=AM=a,則DH=2a,DM=a,

a表示GH,BD,求出比值.

試題解析:

(1)證明:如圖1中,連接BDAC

AB=AD,

點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上,

CB=CD,

點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,

AC是線段BD的垂直平分線,

AC垂直平分線段BD

(2)如圖2中,將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到ADM.連接ACBDO

B、D關(guān)于AC對(duì)稱,

∠ABC=ADC=90°,

∵∠BCD=60°,

∴∠BAD=120°,

∵∠EAF=60°,

∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°,

∴∠FAE=∠FAM,

∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF,

FD、M共線,

FA=FAAE=AM,

∴△FAE≌△FAM

∴∠AFE=AFM,

∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF

∴∠GAO=∠DAF,

∵∠AGO+∠GAO=90°,∠AFD+∠FAD=90°,

∴∠AGO=∠ADF,

∴∠AGH=∠AFE,∵∠GAH=∠FAE

∴△AGH∽AFE

(3)解:如圖3中,連接ACBDO,作HMADM

EFCD,

∴∠EFD=90°,

由(2)可知AFD=∠AFE=∠AGO=45°,

∵∠ADF=90°,

AD=DF,設(shè)HM=AM=a,則DH=2aDM=a,

Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,AD=(1+a,

CD=BD=AD=(3+a,

Rt△AHD中,∠ADH=30°,AD=(1+a,

AO=OG=AD=a,OD=OA=a,

OH=OD﹣DH=a,﹣2a=a,

GH=OG+OH=a,

.

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