Question

（本小題10分）已知拋物線．

（1）求它的對稱軸與軸交點的坐標；

（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與軸的交點為，，與軸的交點為，若=90°，求此時拋物線的解析式；

（3）若點（，）在拋物線上，則稱點為拋物線的不動點．將拋物線進行平移，使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線上，請說明理由．

Answer 1

（1）D（3,0）；（2）；（3）在.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)對稱軸的求法求出對稱軸，得出點D的坐標；（2）首先設(shè)出平移后的解析式，求出點A、點B的坐標，根據(jù)直角△ABC的勾股定理列出方程求出k的值；（3）設(shè)出平移后的解析式，根據(jù)不動點的定義列出方程，根據(jù)只有一個交點說明根的判別式為零求出h和k的關(guān)系式.

試題解析：（1）由y=－，得x=－=3 ∴點D的坐標為（3,0）

（2）設(shè)平移后的拋物線解析式為y=－+k（k＞0） 則C（0，k） OC=k

令y=0，即－+k=0 解得：

∴，．

∴．

．

∵=90°， ∴．

即．．

解得，（舍去）．

∴拋物線的解析式為．

（3）設(shè)平移后的拋物線的解析式為，由不動點的定義，得方程，

整理，得． ∵平移后的拋物線只有一個不動點，

∴此方程有兩個相等的實數(shù)根． ∴判別式，

有，． ∴頂點（，）在直線上．

考點：二次函數(shù)圖象的平移、勾股定理、根的判別式

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關(guān)于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

• 題型：
• 難度：
• 考核：
• 年級：