Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，A（﹣2，0）

（1）直接寫出：a＝　 　

（2）如圖1，點P在第一象限內拋物線上的一點，過點P作x軸的垂線交CB的延長線于點D，交AC的延長線于點Q，當△QAP與△QCD相似時，求P點的坐標；

（3）如圖2，拋物線的對稱軸交x軸于點M，N為第二象限內拋物線上的一點，直線NA，NB分別交y軸于D，E兩點，分別交拋物線的對稱軸于F，G兩點．

①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；

②若，求N點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）點P的坐標為（6，4）或（，）；

（3）①tan∠FAM﹣tan∠GAM＝；②點N的坐標為（﹣4，4）．

【解析】

（1）將點A代入拋物線即可．

（2）相似分兩種情況，一種是AP∥CD，根據兩直線平行k相等，再代入點A就可以求出此時直線AP的解析式，和拋物線聯立就可以求出點P的坐標；另一種根據相似三角形對應邊成比例，列方程求解即可．

（3）①設點N的坐標，表示線段長度，列比值算出數值即可．②轉換題干中的比值，把斜線的比值轉換為水平線的比值，表示線段長度，列式求解即可．

解：（1）將A（﹣2，0）代入拋物線中，得

0＝4a+4a﹣2，解得．

故答案為．

（2）拋物線的解析式為，

令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，

∴B（4，0），

令x＝0，y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

設直線AC的解析式為y＝kx+b，代入點A、C，得：

解得

∴y＝﹣x﹣2，

設直線BC的解析式為y＝k1 x+b1，代入點點B、C，得：

解得

∴y＝x﹣2，

設點P的橫坐標為m，則縱坐標為，

則點D（m， m﹣2），Q（m，﹣m﹣2），

PQ＝，

DQ＝，

AQ＝，

CQ＝，

①當AP∥CD時，△APQ∽△CDQ，

設直線AP的解析式為y＝x+b3，

代入點A，0＝×（﹣2）+b3，解得b3＝1，

∴y＝x+1，

令x+1＝x2﹣﹣2，

解得x1＝﹣2，x2＝6，

當x＝6時，y＝4，

∴P（6，4）．

②當∠APQ＝∠QCD時，△APQ∽△DCQ，

∴，

∴＝

解得m1＝﹣2（舍），m2＝，

當x＝時，y＝，

∴P（，）．

綜上所述，點P的坐標為（6，4）或（，）．

（3）①過點N作NK垂直x軸于點K，

設點N的坐標為（n，n2﹣n﹣2），

則NK＝n2﹣n﹣2，AK＝﹣2﹣n，BK＝4﹣n，

tan∠FAM＝tan∠NAK=＝，

tan∠GAM＝tan∠GBK=＝，

∴tan∠FAM﹣tan∠GAM＝-=．

②∵，△NED∽△NGF，

∴，

過點N向拋物線的對稱軸作垂線，分別交y軸和對稱軸于點J、H，

∴△NJE∽△NHG，

∴，

NJ＝﹣n，NH＝1﹣n，

∴4（1﹣n）＝﹣5n，

解得n＝﹣4，

當x＝﹣4時，y＝4，

∴點N的坐標為（﹣4，4）．