【題目】已知四邊形ABCD是平行四邊形,ADBD,過點DDEAB于點E,過點AAHBD于點H,交DE、BC分別于點FG,連接CF

1)如圖1,求證:∠BAG=∠FCB;

2)如圖2,過點AAK平分∠DAFED于點K,若AK1,∠FCD45°,求DF的長;

3)如圖3,若AD10,DH6,求CF的長.

【答案】1)見解析;(2DF;(3CF

【解析】

1)本題連接BF.設∠BAG=x,∠DAG=y,由∠BDE+DFH=90°,∠BAG+AFE=90°,∠DFH=AFE(對頂角相等)得∠BDE=BAG.再通過角之間的關系,證明∠FDC+FBC=180°從而得到點F、BC、D四點共圓,所以∠FCB=BDE=x,可證明∠BAG=FCB
2)本題主要根據平行四邊形的性質得出∠BAD=BCD,又由(1)∠BAG=FCB,得∠DAF=FCD=45°,因為AHBD進而得到∠ADH=45°,這樣又因為∠FAK=DAK=22.5°,∠ADE=BDE=22.5°,這樣就可以利用角之間的關系找到線段之間的關系,求出DF的長.
3)連接BF,本題主要利用勾股定理求出AH、FH的長,再在RtAHBRtFHD中,分別表示出AB2DF2,這樣就可以在RtFDC中,利用勾股定理,求出CF的長度.

1)如圖1,連接BF

設∠BAGx,∠DAGy

ADBD,DEAB于點E

∴直線DE是等腰三角形的對稱軸

∴∠ABF=∠BAGx,∠DBF=∠DAGy,∠ADE=∠BDE

∴∠ABD=∠BAD=∠BAG+DAGx+y

AHBD于點H

∴∠AHD90°∴∠BDE+DFH90°

∵∠BAG+AFE90°,∠DFH=∠AFE(對頂角相等)

∴∠BDE=∠BAGx

∴∠ADE=∠BDEx,∠ADB=∠ADE+BDE2x

ABCD

ADBCABCD

∴∠DBC=∠ADB2x,∠CDB=∠ABDx+y

∴∠FDC=∠BDE+CDBx+x+y2x+y,∠FBC=∠DBF+DBCy+2x

∴∠FDC+FBC4x+2y

ABCD

∴∠BAD+ADC180°

∵∠BAD=∠BAG+DAGx+y,∠ADC=∠ADB+CDB2x+x+y3x+y

x+y+3x+y180°

4x+2y180°

∴∠FDC+FBC4x+2y180°

∴點F、BC、D四點共圓

∴∠FCB=∠BDEx

∴∠BAG=∠FCB

2)如圖2,連接BF,作FMAK于點M

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠BAD=∠BCD

由(1)知,∠BAG=∠FCB

∴∠DAF=∠FCD45°

AHBD

∴∠ADH45°

由(1)知,∠ADE=∠BDE

∴∠ADE=∠BDE22.5°

AK平分∠DAF

∴∠DAK=∠FAKDAF22.5°

∴∠DAK=∠ADE

DKAK1

∵∠AKE=∠DAK+ADE45°,DEAB

AEEKAK,∠EAK45°

∴∠BAG=∠EAK﹣∠FAK22.5°

∴∠BAG=∠FAK

FMAK,FEAB

FEFM

RtFMK中,∠FMK90°,∠AKE45°

FKFMFE

FE+FKEK

FE+FE

FE

FK1

DFFK+DK

3)如圖3,連接BF

AHBD,AD10,DH6

∴根據勾股定理得,AH8

BDAD10

BHBDDH4

由(1)知,BFAF,設FHa,則BFAF8a

由勾股定理得42+a2=(8a2

a3

∴在RtFHD中,∠FHD90°

由勾股定理得DF2FH2+DH232+6245

RtAHB中,∠AHB90°

由勾股定理得AB2AH2+BH282+4280

∵四邊形ABCD是平行四邊形

ABCDABCD

∴∠FDC=∠AED

DEAB

∴∠AED90°

∴∠FDC90°

∴在RFDC中,根據勾股定理得CF2CD2+DF2AB2+DF280+45125,

CF.

練習冊系列答案
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