【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣4ax+3a(a>0),與y軸交于點(diǎn)A,在x軸的正半軸上取一點(diǎn)B,使OB=2OA,拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D,與直線AB交于點(diǎn)E,連接BC.
(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若△BCD與△BDE相似,求a的值;
(3)連接OE,記△OBE的外心為M,點(diǎn)M到直線AB的距離記為h,請(qǐng)?zhí)骄縣的值是否會(huì)隨著a的變化而變化?如果變化,請(qǐng)寫出h的取值范圍;如果不變,請(qǐng)求出h的值.
【答案】
(1)
解:由拋物線的解析式可知:點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,﹣a),
令x=0代入y=ax2﹣4ax+3a,
∴y=3a,
∴OA=3a,
∵OB=2OA=6a,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6a,0)
(2)
解:由(1)可知:OD=2,CD=a,OB=6a,
若點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí),如圖1,
則6a>2,
∴a> ,
∴BD=6a﹣2,
當(dāng)∠DBC=∠EBD時(shí),
∴tan∠DBC=tan∠EBD= = ,
∴ ,
∴ = ,
∴a= ,
當(dāng)∠DCB=∠EBD時(shí),
∴tan∠DCB=tan∠EBD= ,
∴ ,
∴ ,
∴a= ,
若點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí),如圖2,
則0<6a<2,
∴0<a< ,
∴BD=2﹣6a,
當(dāng)∠DBC=∠EBD時(shí),
∴tan∠DBC=tan∠EBD= = ,
∴ ,
∴ = ,
∴a= ,
當(dāng)∠DCB=∠EBD時(shí),
∴tan∠DCB=tan∠EBD= ,
∴ ,
∴ = ,
∴a= ,
若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí),
則6a=2,
∴a= ,
此情況不存在△BCD與△BDE,
綜上所述,a的值為 、 、 和
(3)
解:由題意知:點(diǎn)M在OB和BE的垂直平分線上,
設(shè)OB和BE的垂直平分線交于點(diǎn)M,
其中OB的垂直平分線與OB交于點(diǎn)G,
BE的垂直平分線交OB于點(diǎn)H,交BE于點(diǎn)F
當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí),如圖3,
∴6a>2,
∴a> ,
∴BD=6a﹣2,
∵tan∠EBD= ,
∴ED= BD=3a﹣1,
由勾股定理可求得:BE=3 a﹣ ,
∴BF= BE= ,
∴HF= BF= ,
∴由勾股定理可求得:BH= ,
∴HG=BG﹣BH= ,
∵∠GMH=∠EBD,
∴sin∠GMH=sin∠EBD= ,
∴MH= HG= ,
∴MF=MH+HF= ,
當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí),如圖:
∴0<a< ,
∴BD=OD﹣OB=2﹣6a,
∵tan∠ABO=tan∠DBE= ,
∴DE= BD=1﹣3a,
∴由勾股定理可求得:BE= ﹣3 a,
∴BF= BE= ,
∴HF= BF= ,
由勾股定理求得:BH= ,
∵GB= OB=3a,
∴GH=GB+BH= ,
∵∠HBF+∠BHF=90°,
∠GMH+∠BHF=90°,
∴∠HBF=∠GMH,
∴sin∠HBF=sin∠GMH= ,
∴MH= GH= ,
∴MF=MH﹣HF= ,
當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí),
此時(shí)a= ,
此情況不符合題意,舍去
綜上所述,點(diǎn)M到直線AB的距離不會(huì)變化,始終為 .
【解析】(1)令x=0代入拋物線可得y=3a,即OA=3a,因?yàn)镺B=2OA,所以B的坐標(biāo)為(6a,0),點(diǎn)C時(shí)拋物線的頂點(diǎn),利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出C的坐標(biāo)為(2,﹣a);(2)由于點(diǎn)B的位置不確定,所以分三種情況討論,一是點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè),二是點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè),三是點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,其中第三種情況是不存在△BCD與△BDE;另外,△BCD與△BDE相似時(shí),有兩種情況,一是∠DBC=∠EBD,二是∠DBE=∠DBC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出a的值;(3)由于點(diǎn)B的位置不確定,所以分三種情況討論,一是點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè),二是點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè),三是點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,其中第三種情況是不存在△OBE,由題意知:點(diǎn)M在OB和BE的垂直平分線上,設(shè)OB和BE的垂直平分線交于點(diǎn)M,其中OB的垂直平分線與OB交于點(diǎn)G,BE的垂直平分線交OB于點(diǎn)H,交BE于點(diǎn)F,利用相似三角形的性質(zhì)求出MF的長度即可;
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察圖①,由點(diǎn)A和點(diǎn)B可確定 條直線;
觀察圖②,由不在同一直線上的三點(diǎn)A、B和C最多能確定 條直線;
(1)動(dòng)手畫一畫圖③中經(jīng)過A、B、C、D四點(diǎn)的所有直線,最多共可作 條直線;
(2)在同一平面內(nèi)任三點(diǎn)不在同一直線的五個(gè)點(diǎn)最多能確定 條直線、n個(gè)點(diǎn)(n≥2)最多能確定 條直線.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,線段AB和射線BM交于點(diǎn)B.
(1)利用尺規(guī)完成以下作圖,并保留作圖痕跡(不寫作法)
①在射線BM上作一點(diǎn)C,使AC=AB;
②作∠ABM 的角平分線交AC于D點(diǎn);
③在射線CM上作一點(diǎn)E,使CE=CD,連接DE.
(2)在(1)所作的圖形中,猜想線段BD與DE的數(shù)量關(guān)系,并證明之.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了滿足學(xué)生借閱圖書的需求,計(jì)劃購買一批新書.為此,該校圖書管理員對(duì)一周內(nèi)本校學(xué)生從圖書館借出各類圖書的數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解答下列問題:
(1)補(bǔ)全條形圖和扇形圖;
(2)該校學(xué)生最喜歡借閱哪類圖書?
(3)該校計(jì)劃購買新書共600本,若按扇形統(tǒng)計(jì)圖中的百分比來相應(yīng)地確定漫畫、科普、文學(xué)、其它這四類圖書的購買量,求應(yīng)購買這四類圖書各多少本?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人共收集郵票若干張,其中是2000年以前的國內(nèi)外發(fā)行的郵票,是2001年國內(nèi)發(fā)行的,是2002年國內(nèi)發(fā)行的,此外尚有不足100張的國外郵票.求該人共有多少張郵票.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P是AB為直徑的半圓周上一點(diǎn),點(diǎn)C在∠PAB的平分線上,且CB⊥AB于B,PB交AC于E,若AB=4,BE=2,則PE的長為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 已知反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于M(2,m)和N(-1,-4)兩點(diǎn).
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)求△MON的面積;
(3)請(qǐng)判斷點(diǎn)P(4,1)是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道,對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:n=pq(p,q是正整數(shù),且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小,我們就稱pq是n的最佳分解,并規(guī)定:F(n)=,例如12可以分解為112,26或34,因?yàn)?2-1>6-2>4-3,所以34是最佳分解,所以F(n)=。
(1)如果一個(gè)正整數(shù)是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù),求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1
(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,t=10x+y (1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18,那么我們就稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某中學(xué)在創(chuàng)建“特色校園”的活動(dòng)中,將本校的辦學(xué)理念做成宣傳牌(AB),放置在教學(xué)樓的頂部(如圖所示).小明在操場上的點(diǎn)D處,用1米高的測(cè)角儀CD,從點(diǎn)C測(cè)得宣傳牌的底部B的仰角為37°,然后向教學(xué)樓正方向走了4米到達(dá)點(diǎn)F處,又從點(diǎn)E測(cè)得宣傳牌的頂部A的仰角為45°.已知教學(xué)樓高BM=17米,且點(diǎn)A,B,M在同一直線上,求宣傳牌AB的高度(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù): ≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.81,tan37°≈0.75).
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com