Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D為AB的中點(diǎn)，∠EDF=90°，DE交AC于點(diǎn)G，DF經(jīng)過點(diǎn)C．

（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）如圖2，將圖1中的∠EDF繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），旋轉(zhuǎn)過程中的任意兩個位置分別記為∠E1DF1 ， ∠E2DF2 ， DE1交直線AC于點(diǎn)P，DF1交直線BC于點(diǎn)Q，DE2交直線AC于點(diǎn)M，DF2交直線BC于點(diǎn)N，求 的值；
（3）若圖1中∠B=β（60°＜β＜90°），（2）中的其余條件不變，判斷 的值是否為定值？如果是，請直接寫出這個值（用含β的式子表示）；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD=DB，

∴∠DCB=∠B，

∵∠B=60°，

∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，

∴∠CDA=120°，

∵∠EDC=90°，

∴∠ADE=30°

（2）

解：∵∠C=90°，∠MDN=90°，

∴∠DMC+∠CND=180°，

∵∠DMC+∠PMD=180°，

∴∠CND=∠PMD，

同理∠CPD=∠DQN，

∴△PMD∽△QND，

過點(diǎn)D分別做DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

可知DG，DH分別為△PMD和△QND的高

∴ = ，

∵DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

∴DG∥BC，

又∵D為AC中點(diǎn)，

∴G為AC中點(diǎn)，

∵∠C=90°，

∴四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，

Rt△AGD中，

即

（3）

解：是定值，定值為tan（90°﹣β），

∵ ，四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，

∴Rt△AGD中， =tan∠A=tan（90°﹣∠B）=tan（90°﹣β），

∴ =tan（90°﹣β）

【解析】（1）根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形中的三角函數(shù)解答即可；（3）由（2）的推理得出 ，再利用直角三角形的三角函數(shù)解答．