Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，點D是BC中點，∠EDF兩邊分別交線段AB于點E，交線段AC于點F，且∠EDF+∠BAC＝180°

（1）如圖1，當∠EDF＝90°時，求證：BE＝AF；

（2）如圖2，當∠EDF＝60°時，求證：AE+AF＝AD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EF并延長EF至點G，使FG＝EF，連接CG，若BE＝5，CF＝4，求CG的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CG＝．

【解析】

1）由等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，∠B＝∠C＝45°，∠DAF＝∠BAC＝45°，求出∠B＝∠DAF，∠BDE＝∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，即可得出結(jié)論；

（2）取AB的中點M，連接DM，由直角三角形的性質(zhì)得出DM＝AB＝BM＝AM，證出△ADM是等邊三角形，得出AM＝DM＝AD，∠AMD＝∠ADM＝60°，證明△DEM≌△DFA，得出MD＝AF，即可得出結(jié)論；

（3）作EH⊥BC于H，FM⊥BC于M，GN⊥BC于N，則EH∥FM∥GN，由（2）得：AE＋AF＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠ACB＝30°，AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)得出AD＝AB，BD＝CD＝AD，EH＝BE＝，FM＝CF＝2，BH＝EH＝，CM＝FM＝2，求出AB＝6，得出AD＝3，BD＝CD＝3，∴DH＝BDBH＝，DM＝CDCM＝，求出HM＝DH＋DM＝，證出FM是梯形EHNG的中位線，HM＝MN，得出2FM＝EH＋GN，MN＝，CN＝CDDMMN＝，求出GN＝，在Rt△CGN中，由勾股定理即可求出CG的長．

（1）證明：連接AD，如圖1所示：

∵∠EDF+∠BAC＝180°，∠EDF＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∵AB＝AC，點D是BC中點，

∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，∠B＝∠C＝45°，∠DAF＝∠BAC＝45°，

∴∠B＝∠DAF，

∵∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE＝AF；

（2）證明：取AB的中點M，連接DM，如圖2所示：

∵AD⊥BC，M是AB的中點，

∴DM＝AB＝BM＝AM，

∵∠EDF+∠BAC＝180°，∠EDF＝60°，

∴∠BAC＝120°，

∵AB＝AC，點D是BC中點，

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，

∴△ADM是等邊三角形，

∴AM＝DM＝AD，∠AMD＝∠ADM＝60°，

∴∠MDE＝∠ADF，

在△DEM和△DFA中，，

∴△DEM≌△DFA（ASA），

∴MD＝AF，

∵AE+ME＝AM＝AD，

∴AE+AF＝AD；

（3）解：作EH⊥BC于H，FM⊥BC于M，GN⊥BC于N，如圖3所示：

則EH∥FM∥GN，

由（2）得：AE+AF＝AD，

∵BE＝5，CF＝4，AB+AC＝BE+AE+AF+CF＝BE+AD+CF＝5+AD+4＝9+AD，

∵∠BAC＝120°，AB＝AC，點D是BC中點，

∴∠B＝∠ACB＝30°，AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴AD＝AB，BD＝CD＝AD，EH＝BE＝，FM＝CF＝2，BH＝EH＝，CM＝FM＝2，

∴2AB＝9+AB，

解得：AB＝6，

∴AD＝3，BD＝CD＝3，

∴DH＝BD﹣BH＝，DM＝CD﹣CM＝，

∴HM＝DH+DM＝，

∵EH∥FM∥GN，EF＝FG，

∴FM是梯形EHNG的中位線，HM＝MN，

∴2FM＝EH+GN，MN＝，CN＝CD﹣DM﹣MN＝3﹣﹣＝，2×2＝+GN，

∴GN＝，

在Rt△CGN中，由勾股定理得：CG＝=．