【題目】如圖(1),菱形ABCD對角線AC、BD的交點O是四邊形EFGH對角線FH的中點,四個頂點A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE上.

(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖(2)若四邊形EFGH是矩形,當AC與FH重合時,已知 =2,且菱形ABCD的面積是20,求矩形EFGH的長與寬.

【答案】
(1)證明:∵點O是菱形ABCD對角線AC、BD的交點,

∴OA=OC,OD=OB,

∵點O是線段FH的中點,

∴OF=OH.

在△AOF和△COH中,有 ,

∴△AOF≌△COH(SAS),

∴∠AFO=∠CHO,

∴AF∥CH.

同理可得:DH∥BF.

∴四邊形EFGH是平行四邊形


(2)設矩形EFGH的長為a、寬為b,則AC=

=2,

∴BD= AC= ,OB= BD= ,OA= AC=

∵四邊形ABCD為菱形,

∴AC⊥BD,

∴∠AOB=90°.

∵四邊形EFGH是矩形,

∴∠AGH=90°,

∴∠AOB=∠AGH=90°,

又∵∠BAO=∠CAG,

∴△BAO∽△CAG,

,即

解得:a=2b①.

∵S菱形ABCD= ACBD= =20,

∴a2+b2=80②.

聯(lián)立①②得:

解得: ,或 (舍去).

∴矩形EFGH的長為8,寬為4


【解析】(1)根據(jù)菱形的性質可得出OA=OC,OD=OB,再由中點的性質可得出OF=OH,結合對頂角相等即可利用全等三角形的判定定理(SAS)證出△AOF≌△COH,從而得出AF∥CH,同理可得出DH∥BF,依據(jù)平行四邊形的判定定理即可證出結論;(2)設矩形EFGH的長為a、寬為b.根據(jù)勾股定理及邊之間的關系可找出AC= ,BD= ,利用菱形的性質、矩形的性質可得出∠AOB=∠AGH=90°,從而可證出△BAO∽△CAG,根據(jù)相似三角形的性質可得出 ,套入數(shù)據(jù)即可得出a=2b①,再根據(jù)菱形的面積公式得出a2+b2=80②,聯(lián)立①②解方程組即可得出結論.本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定及性質、菱形的性質、矩形的性質以及相似三角形的判定及性質,解題的關鍵:(1)找出AF∥CH、DH∥BF;(2)找出關于a、b的二元二次方程組.本題屬于中檔題,難度不大,但解題過程叫繁瑣,解決該題型題目時,根據(jù)相似三角形的性質找出對應邊的比例關系是關鍵.

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