【題目】如圖(1),菱形ABCD對角線AC、BD的交點O是四邊形EFGH對角線FH的中點,四個頂點A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE上.
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖(2)若四邊形EFGH是矩形,當AC與FH重合時,已知 =2,且菱形ABCD的面積是20,求矩形EFGH的長與寬.
【答案】
(1)證明:∵點O是菱形ABCD對角線AC、BD的交點,
∴OA=OC,OD=OB,
∵點O是線段FH的中點,
∴OF=OH.
在△AOF和△COH中,有 ,
∴△AOF≌△COH(SAS),
∴∠AFO=∠CHO,
∴AF∥CH.
同理可得:DH∥BF.
∴四邊形EFGH是平行四邊形
(2)設矩形EFGH的長為a、寬為b,則AC= .
∵ =2,
∴BD= AC= ,OB= BD= ,OA= AC= .
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOB=90°.
∵四邊形EFGH是矩形,
∴∠AGH=90°,
∴∠AOB=∠AGH=90°,
又∵∠BAO=∠CAG,
∴△BAO∽△CAG,
∴ ,即 ,
解得:a=2b①.
∵S菱形ABCD= ACBD= =20,
∴a2+b2=80②.
聯(lián)立①②得: ,
解得: ,或 (舍去).
∴矩形EFGH的長為8,寬為4
【解析】(1)根據(jù)菱形的性質可得出OA=OC,OD=OB,再由中點的性質可得出OF=OH,結合對頂角相等即可利用全等三角形的判定定理(SAS)證出△AOF≌△COH,從而得出AF∥CH,同理可得出DH∥BF,依據(jù)平行四邊形的判定定理即可證出結論;(2)設矩形EFGH的長為a、寬為b.根據(jù)勾股定理及邊之間的關系可找出AC= ,BD= ,利用菱形的性質、矩形的性質可得出∠AOB=∠AGH=90°,從而可證出△BAO∽△CAG,根據(jù)相似三角形的性質可得出 ,套入數(shù)據(jù)即可得出a=2b①,再根據(jù)菱形的面積公式得出a2+b2=80②,聯(lián)立①②解方程組即可得出結論.本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定及性質、菱形的性質、矩形的性質以及相似三角形的判定及性質,解題的關鍵:(1)找出AF∥CH、DH∥BF;(2)找出關于a、b的二元二次方程組.本題屬于中檔題,難度不大,但解題過程叫繁瑣,解決該題型題目時,根據(jù)相似三角形的性質找出對應邊的比例關系是關鍵.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點E正方形ABCD外一點,點F是線段AE上一點,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,連接CE、CF.
(1)求證:△ABF≌△CBE;
(2)判斷△CEF的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,把八個等圓按相鄰兩兩外切擺放,其圓心連線構成一個正八邊形,設正八邊形內側八個扇形(無陰影部分)面積之和為S1 , 正八邊形外側八個扇形(陰影部分)面積之和為S2 , 則 =( )
A.
B.
C.
D.1
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【題目】如圖,在平面直角坐標系網(wǎng)格中,將△ABC進行位似變換得到△A1B1C1 .
(1)△A1B1C1與△ABC的位似比是;
(2)畫出△A1B1C1關于y軸對稱的△A2B2C2;
(3)設點P(a,b)為△ABC內一點,則依上述兩次變換后,點P在△A2B2C2內的對應點P2的坐標是 .
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【題目】如圖所示,∠AOB=41°,點P為∠AOB內的一點,分別作出P點關于OA,OB的對稱點,,連接交OA于M,交OB于N,,則△PMN的周長為_________,∠MPN________°.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D、E在BC上,連接AD、AE,如果只添加一個條件使∠DAB=∠EAC,則添加的條件不能為( )
A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD
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【題目】(已知反比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y=x+2的圖象交于點A(﹣3,m)
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)如果點M的橫、縱坐標都是不大于3的正整數(shù),求點M在反比例函數(shù)圖象上的概率.
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【題目】在線段AB的同側作射線AM和BN,若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點E,F(xiàn),AE和BF交于點P.如圖,點點同學發(fā)現(xiàn)當射線AM,BN交于點C;且∠ACB=60°時,有以下兩個結論:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,當AM∥BN時:
(1)點點發(fā)現(xiàn)的結論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請求出∠APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長度之間的等量關系,并給予證明;
(2)設點Q為線段AE上一點,QB=5,若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32 ,求AQ的長.
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