Question

（2008•濟(jì)南）已知：如圖，直線y=-x+4與x軸相交于點(diǎn)A，與直線y=x相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)判斷△OPA的形狀并說明理由；
（3）動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著O、P、A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)（E不與點(diǎn)O，A重合），過點(diǎn)E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．
求：①S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩直線相交可列出方程組，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將y=0代入y=-x+4，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，利用tan∠POA=，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等邊三角形；
（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，則EF=，OF=，則S=•OF•EF=t²；
②當(dāng)4＜t＜8時(shí)，如圖，設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C，易知：CE=PE=t-4，AE=8-t，可得AF=4-，EF=（8-t），有OF=OA-AF=4-（4-）=，S=（CE+OF）•EF=-t²+4t-8．
解答：解：（1）由題意可得：，
解得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；

（2）將y=0代入y=-x+4，-x+4=0，
∴x=4，即OA=4，
作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，
∵tan∠POA==，
∴∠POA=60°，
∵OP==4，
∴△POA是等邊三角形；

（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，如圖，在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t，
∴EF=，OF=，
∴S=•OF•EF=t²．
當(dāng)4＜t＜8時(shí)，如圖，設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C，
∵CE=PE=t-4，AE=8-t，
∴AF=4-，EF=（8-t），
∴OF=OA-AF=4-（4-）=，
∴S=（CE+OF）•EF=（t-4+t）×（8-t），
=-t²+4t-8；
②當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=，t=4時(shí)，S_最大=2；
當(dāng)4＜t＜8時(shí)，S=-t²+4t-8=-（t-）²+，
t=時(shí)，S_最大=．
∵＞2，
∴當(dāng)t=時(shí)，S最大，最大值為．
點(diǎn)評(píng)：把動(dòng)點(diǎn)問題與三角形的性質(zhì)相結(jié)合，增加了難度，在解答時(shí)要注意t在三個(gè)取值范圍內(nèi)的情況，不要漏解．