Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M為邊AB的中點(diǎn)，N為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BMN沿直線MN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE、CE，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，BN的長為_____．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

分兩種情況：①當(dāng)DE=DC時(shí)，連接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性質(zhì)得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=CG=，BG=BC+CG=3，由折疊的性質(zhì)得EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，證明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，證出D、E、N三點(diǎn)共線，設(shè)BN=EN=xcm，則GN=3-x， DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)CE=CD上，CE=CD=AD，此時(shí)點(diǎn)E與A重合，N與點(diǎn)C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等邊三角形，BN=BC=2（含CE=DE這種情況）；

解：分兩種情況：

①當(dāng)DE＝DC時(shí)，連接DM，作DG⊥BC于G，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝CD＝BC＝2，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DCG＝∠B＝60°，∠A＝120°，

∴DE＝AD＝2，

∵DG⊥BC，

∴∠CDG＝90°﹣60°＝30°，

∴CG＝CD＝1，

∴DG＝CG＝，BG＝BC+CG＝3，

∵M為AB的中點(diǎn)，

∴AM＝BM＝1，

由折疊的性質(zhì)得：EN＝BN，EM＝BM＝AM，∠MEN＝∠B＝60°，

在△ADM和△EDM中，

，

∴△ADM≌△EDM（SSS），

∴∠A＝∠DEM＝120°，

∴∠MEN+∠DEM＝180°，

∴D、E、N三點(diǎn)共線，

設(shè)BN＝EN＝x，則GN＝3﹣x，DN＝x+2，

在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3﹣x）2+（）2＝（x+2）2，

解得：x＝，

即BN＝，

②當(dāng)CE＝CD時(shí)，CE＝CD＝AD，此時(shí)點(diǎn)E與A重合，N與點(diǎn)C重合，如圖2所示：

CE＝CD＝DE＝DA，△CDE是等邊三角形，BN＝BC＝2（含CE＝DE這種情況）；

綜上所述，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，線段BN的長為或2；

故答案為：或2．