Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C（3，0），函數(shù)y= （k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過OABC的頂點(diǎn)A（m，n）和邊BC的中點(diǎn)D．

（1）求m的值；
（2）若△OAD的面積等于6，求k的值；
（3）若P為函數(shù)y═ （k＞0，x＞0）的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M，直線l與x軸上方的OABC的一邊交于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng) 時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)C（3，0），OABC的頂點(diǎn)A（m，n），

∴B（m+3，n），

∴D（ +3， ），

∵函數(shù)y= （k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過OABC的頂點(diǎn)A（m，n）和邊BC的中點(diǎn)D，

∴mn=k， ，

∴m=2

（2）

解：∵點(diǎn)D是平行四邊形BC中點(diǎn)，

∴S平行四邊形OABC=2S△OAD=12，

∵S平行四邊形OABC=3×n=12，

∴n=4，

由（1）知，m=2，

∴k=mn=8

（3）

解：①如圖1，點(diǎn)N在OA上，

由（1）知，m=2，

∴A（2，n）．

即0＜t＜2

直線OA的解析式為y= x，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，

∴P（t， ），

∵過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M．

∴N（t， t），M（t，0），

∴PN= ﹣ t，PM= ，

∵ ，

∴ =4（ ﹣ t），

∴t= 或t=﹣ （舍），

②如圖2，

當(dāng)點(diǎn)N在AB上時(shí)，

由（1）知，B（5，n），

∴2≤t≤3

由題意知，P（t， ）．N（t，n），M（t，0），

∵ ，

∴4（n﹣ ）= ，

∴t= ，

③如圖3，4，

當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，（3＜t≤5）

∵B（5，n），C（3，0），

∴直線BC解析式為y= x﹣ ，

∴P（t， ），N（t， t﹣ ），M（t，0），

∵ ，

∴4| t﹣ ﹣ |= ，

∴t= 或t= （舍）或t= 或t= （舍）

∴t的值為 ， ， 或

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)確定出B的坐標(biāo)從而確定出D的坐標(biāo)，而點(diǎn)A，D在反比例函數(shù)圖象上，建立方程求出m，（2）根據(jù)三角形OAD的面積是平行四邊形OABC面積的一半，確定出n即可；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和雙曲線的性質(zhì)，確定出PM，ON即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．