【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠BAC=90°,AD平分∠BAC,且交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥BC,交AB的延長線于點(diǎn)E,連接BD、CD.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AB=8,AC=6,求BE的長.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)連接OD,根據(jù)圓周角定理求得∠COD=2∠DAC=90°,∠BOD=2∠BAD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求OD⊥ED,即可證得DE是⊙O的切線;
(2)根據(jù)勾股定理求得BC的長,從而求得OB的長,然后求得BD、CD的長,再根據(jù)邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,求得∠ACD=∠DBE,再證得△EBD∽△DCA,得到,由此求得BE的長.
(1)證明:連接OD.
∵∠BAC=90°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=45°.
∴∠COD=2∠DAC=90°.
∠BOD=2∠BAD=90°.
∵DE∥BC,∴∠COD=∠EDO=90°.
∵∠EDO=90°,∴OD⊥ED.
∵OD為半徑,OD⊥ED,垂足為點(diǎn)D,∴DE是⊙O的切線.
(2)解:∵∠BAC=90°,∴BC是⊙O的直徑.
在Rt△BAC中,∠BAC=90°,BC= =10 ,∴OB=OC=OD=5.
∵OB=OD=5,∴∠OBD=∠ODB=(180°-∠BOD)=45°.
∴∠BDE=∠EDO-∠ODB=45°.
在Rt△BOD中,∠BOD=90°,BD= .
在Rt△DOC中,∠COD=90°,CD=.
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∴∠ACD+∠ABD=180°.
又∵∠EBD+∠ABD=180°,∴∠ACD=∠DBE.
∵∠ACD=∠EBD,∠BDE=∠DAC=45°,∴△EBD∽△DCA.
∴.
∴.
∴EB=.
答:BE的長為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x軸,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(3)若△ABC的面積為2,當(dāng)2m﹣5≤x≤2m﹣2時(shí),y的最大值為2,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果,對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測,井建立如下模型:設(shè)第t個(gè)月該原料藥的月銷售量為P(單位:噸),P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系,其圖象是函數(shù)P=(0<t≤8)的圖象與線段AB的組合;設(shè)第t個(gè)月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q(單位:萬元),Q與t之間滿足如下關(guān)系:Q=
(1)當(dāng)8<t≤24時(shí),求P關(guān)于t的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)第t個(gè)月銷售該原料藥的月毛利潤為w(單位:萬元)
①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式;
②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為,336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍,求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富學(xué)生的課余生活,拓展學(xué)生的視野,某學(xué)校開設(shè)了特色選修課程.本學(xué)期該校共開設(shè)A、B、C三類課程,如下表所示.
(1)若小明從A類課程中隨機(jī)選擇一門課程,則他恰好選中“合唱”的概率是 .
(2)若小明分別從B類課程和C類課程中各隨機(jī)選擇一門課程,求他恰好選中“漢字的故事”和“乒乓球”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x2+(a+3)x+a+1=0是關(guān)于x的一元二次方程.
(1)求證:方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1 ,x2 ,且x12+x22=10,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上.
⑴填空:∠ABC= °,AC= ;
⑵判斷:△ABC與△DEF是否相似,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在x軸的正半軸上依次間隔相等的距離取點(diǎn)A1,A2,A3,A4,…,An,分別過這些點(diǎn)做x軸的垂線與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點(diǎn)P1,P2,P3,P4,…Pn,再分別過P2,P3,P4,…Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分別為B1,B2,B3,B4,…,Bn﹣1,連接P1P2,P2P3,P3P4,…,Pn﹣1Pn,得到一組Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,…,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,則Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面積為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有一個(gè)由六個(gè)邊長為1的正方形組成的圖案,其中點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(3,5),(6,1).若過原點(diǎn)的直線l將這個(gè)圖案分成面積相等的兩部分,則直線l的函數(shù)解析式為_____.
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