Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上（如圖示）
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求出l與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）PQ的長(zhǎng)，實(shí)際是直線AB的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差．據(jù)此可得出l，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）要想使PQMA為梯形，只有一種情況，即MQ∥AP，可根據(jù)直線AB的斜率和M點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線MQ的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，將Q的橫坐標(biāo)代入直線AB中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，得出然后可根據(jù)A，M，Q，P的坐標(biāo)求出AP，MQ，AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出梯形AMQP的面積（可設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為N，利用∠ANO=45°來求個(gè)各邊的長(zhǎng)）．

解答：解：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²，
由于直線y=x+2與y軸交于（0，2），
∴x=0，y=2
滿足y=a（x-2）²，于是求得a=

1

2

，
二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

（x-2）²；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（x，y），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

2

x²-2x+2）
依題意得，PQ=l=（x+2）-

1

2

（x-2）²=-

1

2

x2+3x，
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

，
求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），
∴0＜x＜6；

（3）由（2）知P的橫坐標(biāo)為0＜x＜6時(shí)，必有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q在拋物線上；
反之，Q的橫坐標(biāo)為0＜x＜6時(shí)，在線段AB上必有一點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)．
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，由題意得AM與PQ不會(huì)平行，
因此梯形的兩底只能是AP與MQ，
∵過點(diǎn)M（2，0）且平行AB的直線方程為y=x-2，
由

y=x-2 y= 1 2 (x-2)2

，
消去y得：x²-6x+8=0，即（x-2）（x-4）=0，
解得x=2或x=4，
∵當(dāng)x=2時(shí)，P點(diǎn)、Q點(diǎn)、M點(diǎn) 三點(diǎn)共線，與A點(diǎn)只能構(gòu)成三角形，而不能構(gòu)成梯形；
∴x=2這個(gè)解舍去．
∴過M點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為（4，2），
∵此交點(diǎn)橫坐標(biāo)4，落在0＜x＜6范圍內(nèi)，
∴Q的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，P（4，6）符合條件，
即存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（4，6），
設(shè)直線AB與x軸交于N，由條件可知，△ANM是等腰直角三角形，即AM=AN=2

2

，
AP=PN-AN=6

2

-2

2

=4

2

，MQ=2

2

，
AM為梯形PQMA的高，
故S_梯形PQMA=

1

2

（2

2

+4

2

）•2

2

=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)、梯形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．