Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB交x軸于A（1，0），交y軸負(fù)半軸于B（0，-5），C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且CA=

4

5

CO．
（1）求△ABC的面積．
（2）延長BA到P，使得PA=AB，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖，D是第三象限內(nèi)一動點(diǎn)，且OD⊥BD，直線BE⊥CD于E，OF⊥OD交BE延長線于F．當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動時，

OD

OF

的大小是否發(fā)生變化？若改變，請說明理由；若不變，求出這個比值．

Answer 1

分析：（1）由A和B的坐標(biāo)可求出AC的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（2）作PN⊥x軸于N，通過證明△PAN≌△BAO，可求出PN和ON的長，即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動時，

OD

OF

的大小不發(fā)生變化，設(shè)BF與OD的交點(diǎn)為M，利用已知條件證明△FOB≌△DOC，得到OF=OD，求出OD：OF=1．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，-5），
∴OA=1，OB=5，
∵CA=

4

5

CO，
∴CA=4，CO=5，
∴S_△ABC=

1

2

AC•OB=

1

2

×4×5=10；

（2）作PN⊥x軸于N，
在△PAN和△BAO中，

∠PNA=∠BOA=90° ∠PAN=∠BAO PA=BA

，
∴△PAN≌△BAO（AAS），
∴PN=OB，AN=AO，
∴PN=5，ON=2OA=2，
∴P（2，5）；

（3）當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動時，

OD

OF

的大小不發(fā)生變化，
理由如下：
設(shè)BF與OD的交點(diǎn)為M，
∵OF⊥OD，
∴∠F+∠∠FMD=90°，
又∵BE⊥CD，
∴∠FMD+∠DME=90°，
∵∠FMD=∠DME，
∴∠F=∠MDE，
∵OF⊥OD，OB⊥OC，
∴∠FOD=∠COB=90°，
∴∠FOD+∠DOB=∠COB+∠DOB，
∴∠FOB=∠DOC，
在△FOB和△DOC中，

∠F=∠ODC ∠FOB=∠DOC OB=OC

，
∴△FOB≌△DOC（AAS），
∴OF=OD，
∴

OD

OF

=1．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的面積公式以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小．