Question

如圖，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．

1.若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；

2.連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，

試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．

 

Answer 1

 

1.連接OD. 設⊙O的半徑為r.

        ∵BC切⊙O于點D，∴OD⊥BC.

        ∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.

∴ = ，即 = .  解得r = ，     ∴⊙O的半徑為.

      

2.四邊形OFDE是菱形. 

       ∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠B.

∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°.

∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等邊三角形.   

∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.

∴四邊形OFDE是平行四邊形.

   ∵OE=OF，∴平行四邊形OFDE是菱形.

解析:

1.連接OD，設⊙O的半徑為r，可證出△BOD∽△BAC，則，從而求得r；

2.由四邊形BDEF是平行四邊形，得∠DEF=∠B，再由圓周角定理可得，∠B=∠DOB，則△ODE是等邊三角形，先得出四邊形OFDE是平行四邊形．再根據(jù)OE=OF，則平行四邊形OFDE是菱形．