Question

如圖，射線OA⊥射線OB，半徑r=2cm的動(dòng)圓M與OB相切于點(diǎn)Q（圓M與OA沒(méi)有公共點(diǎn)），P是OA上的動(dòng)點(diǎn)，且PM=3cm，設(shè)OP=xcm，OQ=ycm．
（1）求x、y所滿(mǎn)足的關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）當(dāng)△MOP為等腰三角形時(shí)，求相應(yīng)的x的值；
（3）是否存在大于2的實(shí)數(shù)x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相應(yīng)x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OA，垂足為D，可以知道△MDP為直角三角形，DP=（x-2）cm，MD=ycm，勾股定理即可得出x、y所滿(mǎn)足的關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）若△MOP為等腰三角形，①若OM=MP，則有OD=PD，此時(shí)x=2×2=4；②若MP=OP時(shí)，x=3；③若OM=OP時(shí)，OM=4+y²，結(jié)合（1）求出x的值；
（3）△MQO∽△OMP，因?yàn)椤螿=90°，∠OMP=90°，根據(jù)相似比及（1）的關(guān)系式求相應(yīng)x的值．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OA，垂足為D，顯然ODMQ為矩形，
∴OD=MQ=2，MD=OQ=y，
∴PD=x-2，
在Rt△MDP中，y²+（x-2）²=3²，
∴x²-4x+y²=5，
當(dāng)如圖所示情況時(shí)，OD=2；
當(dāng)⊙M與OA相切時(shí)，
可知OP=2+，
∴x取值范圍為0≤x＜2+；

（2）①若OM=MP，此時(shí)x=4，
②若MP=OP時(shí)，此時(shí)x=3，
③若OM=OP時(shí)，
∵OM=4+y²，
∴4+y²=x²，
∴，
解得x=；

（3）∵△QMO∽△MOP，此時(shí)∠OMP=90°，則，
∴==，
∴4+y²=2x，
∴，
∴x=1+＜2，
∴存在這樣的實(shí)數(shù)x，并且x=1+．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查函數(shù)、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題是一個(gè)大綜合題，難度較大．