【題目】如圖所示,矩形ABCD中,AB=6,BD=10.RtEFG的直角邊GE在CB的延長線上,E點與矩形的B點重合,FGE=90°,已知GE+AB=BC,F(xiàn)G=2GE.將矩形ABCD固定,把RtEFG沿著射線BC方向按每秒1個單位運動,直到點G到達點C停止運動.設RtEFG的運動時間為t秒(t>0).

(1)求出線段FG的長,并求出當點F恰好經(jīng)過BD時,運動時間t的值;

(2)在整個運動過程中,設RtEFG與BCD的重合部分面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍.

【答案】(1)FG=4,t=;(2)S=

【解析】

試題分析:(1)利用矩形的性質和勾股定理易得FG,利用相似三角形的性質可得BG的長,進而可求出t的值;(2)如圖1,當0<t2時,根據(jù)三角形的面積公式求得結論;如圖2,當2<t時,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論;如圖3,當<t8時,S=4當8<t10時根據(jù)兩三角形的面積差即可得到結論.

試題解析:(1)在矩形ABCD中,AB=6,BD=10,由勾股定理得:BC=8,在RtEFG中,GE+AB=BC,F(xiàn)G=2GE.FG=4 ,當點F恰好經(jīng)過BD時,∵∠FGE=90°,C=90°,FGDC,∴△BFG∽△BCD,BG=,BE=,當點F恰好經(jīng)過BD時,t=.(2)當0t2時,如圖1,MNCD,三角形BMN相似三角形BCD,三角形MNE相似三角形FGE,設MN=x,則BN=,NE=0.5x,則BE=x=t,MN=,S=t2,當2<t時,如圖2,S=t2+t,

<t8時,如圖3,S=4,

當8<t10時,如圖4,S=t2+16t60,

,綜上可知S與t之間的函數(shù)關系式為:S=

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