【題目】如圖,直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,過A,C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接BC,點(diǎn)N是線段BC上的動點(diǎn),作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D,求線段ND長度的最大值;
(3)若點(diǎn)H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點(diǎn),點(diǎn)M(4,m)是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn),在x軸,y軸上分別找點(diǎn)F,E,使四邊形HEFM的周長最小,求出點(diǎn)F、E的坐標(biāo).
【答案】(1) y=-x2+4x+5;(2);(3) F (,0),E(0,).
【解析】
(1)先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由一次函數(shù)的表達(dá)式求出A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由二次函數(shù)的表達(dá)式求出B點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù)BC的表達(dá)式,設(shè)ND的長為d,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n,則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-n+5,D點(diǎn)的坐標(biāo)為D(n,-n2+4n+5),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的最值計(jì)算可求線段ND長度的最大值;
(3)由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為H(2,9),點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(4,5),作點(diǎn)H(2,9)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H1,可得點(diǎn)H1的坐標(biāo),作點(diǎn)M(4,5)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)HM1,可得點(diǎn)M1的坐標(biāo)連結(jié)H1M1分別交x軸于點(diǎn)F,y軸于點(diǎn)E,可得H1M1+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長,再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線H1M1解析式,根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)F、E的坐標(biāo).
解:(1)∵直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,
∴A(-1,0),C(0,5),
∵二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象過A,C兩點(diǎn),
∴ ,
解得 ,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+4x+5;
(2)如解圖①,
第2題解圖①
∵點(diǎn)B是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn),
∴由二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+4x+5得,點(diǎn)B的坐標(biāo)B(5,0),
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,
∵直線BC過點(diǎn)B(5,0),C(0,5),
∴ ,
解得 ,
∴直線BC解析式為y=-x+5,
設(shè)ND的長為d,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n,
則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(n,-n+5),
D點(diǎn)的坐標(biāo)為(n,-n2+4n+5),
則d=|-n2+4n+5-(-n+5)|,
由題意可知:-n2+4n+5>-n+5,
∴d=-n2+4n+5-(-n+5)=-n2+5n=-(n-)2+,
∴當(dāng)n=時(shí),線段ND長度的最大值是;
(3)∵點(diǎn)M(4,m)在拋物線y=-x2+4x+5上,
∴m=5,∴M(4,5).
∵拋物線y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為H(2,9),
如解圖②,作點(diǎn)H(2,9)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H1,則點(diǎn)H1的坐標(biāo)為H1(-2,9);作點(diǎn)M(4,5)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M1,則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為M1(4,-5),連接H1M1分別交x軸于點(diǎn)F,y軸于點(diǎn)E,∴H1M1+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長,則點(diǎn)F,E即為所求的點(diǎn).
設(shè)直線H1M1的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n,
∵直線H1M1過點(diǎn)H1(-2,9),M1(4,-5),
∴ ,
解得 ,
∴y=-x+,
∴當(dāng)x=0時(shí),y=,即點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,),
當(dāng)y=0時(shí),x=,即點(diǎn)F坐標(biāo)為(,0),
故所求點(diǎn)F,E的坐標(biāo)分別為(,0),(0,).
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(Ⅰ)扇形 ①的圓心角的大小是 ;
(Ⅱ)求這40個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);
(Ⅲ)若該校九年級共有320名學(xué)生,估計(jì)該校理化實(shí)驗(yàn)操作得滿分(10分)有多少人.
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(1)求這個函數(shù)的解析式;
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