【題目】已知正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,過E點作EFBDBCF,連接DF,GDF中點,連接EGCG

1)求證:EG=CG;EGCG

2)將圖BEFB點逆時針旋轉45°,如圖所示,取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

【答案】1)見解析;(2結論仍然成立,證明見解析

【解析】

試題分析:1)根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質以及三角形外角定理即可證明.

2)作GMBCMABNCDH,只要證明GNE≌△GMC即可解決問題.

證明:(1)如圖中,四邊形ABCD是正方形,

∴∠BCD=ADC=90°BDC=,

EFBD,

∴∠DEF=90°,

GF=GD,

EG=DG=GF=DF,GC=DG=GF=DF,

EG=GC,GED=GDEGCD=GDC,

∵∠EGF=GED+GDE=2EDGCGF=GCD+GDC=2GDC,

∴∠EGC=EGF+CGF=2EDG+2GDC=2EDG+GDC=90°

EGGC

2)圖中,結論仍然成立.

理由:作GMBCM,ABNCDH

四邊形ABCD是正方形,

∴∠A=ADC=90°,ABD=DBC=BDC=45°

GM=GN,

∵∠A=ANG=ADH=90°,

四邊形ANHD是矩形,

∴∠DHN=90°GDH=HGD=45°,

HG=DH=AN,同理GH=CM,

∵∠ENG=A=BEF=90°,

EFGNADGF=GD,

AN=NE=GH=MC,

GNEGMC中,

,

∴△GNE≌△GMC,

GE=GC,NGE=MGC

∴∠EGC=NGM=90°,

EGGC

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