Question

【題目】如圖，、是⊙的直徑，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，于，連接、、.

（1）求證：AC是的角平分線；

（2）求證：；

（3）若,求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）2.

【解析】

（1）由PD切⊙O于點(diǎn)C，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，易證得OC∥AD，繼而證得AC平分∠DAB；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合直徑所對(duì)的圓周角可證得，即可證得，從而證得結(jié)論；

（3）設(shè)⊙O半徑為R，在中，利用勾股定理結(jié)合已知，求得，在中，求得，得到2，由OC∥AD，根據(jù)平行線分線段成比例即可求得答案．

（1）∵PD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；

（2）連接BC，如圖：

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90，

∵，

，

∴，

又是公共角，

∴，

∴，

∴；

（3）設(shè)⊙O半徑為R，

在中，∠=90，

，

∵，

∴，即，

在中，，

∴，

∴2，3，

∴OC∥AD，

∴

∴

∴

∴⊙的半徑為．