【題目】如圖,在正方形ABCD中,點G在對角線BD上(不與點B,D重合),GE⊥DC于點E,GF⊥BC于點F,連結(jié)AG.

(1)寫出線段AG,GE,GF長度之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)若正方形ABCD的邊長為1,∠AGF=105°,求線段BG的長.

【答案】
(1)

解:結(jié)論:AG2=GE2+GF2

理由:連接CG.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴A、C關(guān)于對角線BD對稱,

∵點G在BD上,

∴GA=GC,

∵GE⊥DC于點E,GF⊥BC于點F,

∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,

∴四邊形EGFC是矩形,

∴CF=GE,

在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,

∴AG2=GF2+GE2


(2)

解:作BN⊥AG于N,在BN上截取一點M,使得AM=BM.設(shè)AN=x.

∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,

∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,

∴∠AMN=30°,

∴AM=BM=2x,MN= x,

在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2

∴1=x2+(2x+ x)2,

解得x=

∴BN=

∴BG=BN÷cos30°=


【解析】(1)結(jié)論:AG2=GE2+GF2 . 只要證明GA=GC,四邊形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可證明;
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一點M,使得AM=BM.設(shè)AN=x.易證AM=BM=2x,MN= x,在Rt△ABN中,根據(jù)AB2=AN2+BN2 , 可得1=x2+(2x+ x)2 , 解得x= ,推出BN= ,再根據(jù)BG=BN÷cos30°即可解決問題;
【考點精析】掌握勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】佳佳果品店在批發(fā)市場購買某種水果銷售,第一次用1200元購進(jìn)若干千克,并以每千克8元出售,很快售完.由于水果暢銷,第二次購買時,每千克的進(jìn)價比第一次提高了10%,用1452元所購買的數(shù)量比第一次多20千克,以每千克9元售出100千克后,因出現(xiàn)高溫天氣,水果不易保鮮,為減少損失,便降價50%售完剩余的水果.

1)求第一次水果的進(jìn)價是每千克多少元?

2)該果品店在這兩次銷售中,總體上是盈利還是虧損?盈利或虧損了多少元?

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A.3
B.
C.
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(2)若點D在線段AM上時,求證:ADCBEC;

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A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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(2)若點P在邊AB,AD上,點P關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點Q落在直線y=x-1上,求點P的坐標(biāo).
(3)若點P在邊AB,AD,CD上,點G是AD與y軸的交點,如圖2,過點P作y軸的平行線PM,過點G作x軸的平行線GM,它們相交于點M,將△PGM沿直線PG翻折,當(dāng)點M的對應(yīng)點落在坐標(biāo)軸上時,求點P的坐標(biāo)(直接寫出答案).

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(2)當(dāng)∠AOC的度數(shù)變化時,∠EOF的度數(shù)是否變化?若不變,求其值;若變化,說明理由.

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