【題目】在△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F,將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ED,ED交直線AB于點(diǎn)O,連接BE.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):
如圖1,α=90°,點(diǎn)D在邊BC上,猜想:
①AF與BE的數(shù)量關(guān)系是 ;
②∠ABE= 度.
(2)拓展探究:
如圖2,0°<α<90°,點(diǎn)D在邊BC上,請(qǐng)判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù),并給予證明.
(3)解決問(wèn)題
如圖3,90°<α<180°,點(diǎn)D在射線BC上,且BD=3CD,若AB=8,請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng).
【答案】(1)①AF=BE,②90°;(2)AF=BE,∠ABE=α.理由見(jiàn)解析;(3)BE的長(zhǎng)為2或4.
【解析】
(1)①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得:∠ABC=45°,由平行線的性質(zhì)可得∠FDB=∠C=90°,進(jìn)而可得由等角對(duì)等邊可得DF=DB,由旋轉(zhuǎn)可得:∠ADF=∠EDB,DA=DE,繼而可知△ADF≌△EDB,繼而即可知AF=BE;
②由全等三角形的性質(zhì)可知∠DAF=∠E,繼而由三角形內(nèi)角和定理即可求解;
(2)由平行線的性質(zhì)可得∠ACB=∠FDB=α,∠CAB=∠DFB,由等邊對(duì)等角可得∠ABC=∠CAB,進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊可得DB=DF,再根據(jù)全等三角形的判定方法證得△ADF≌△EDB,進(jìn)而可得求證AF=BE,∠ABE=∠FDB=α;
(3)分兩種情況考慮:①如圖(3)中,當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí),②如圖(4)中,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),由平行線分線段成比例定理可得、,代入數(shù)據(jù)求解即可;
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):
如圖1中,設(shè)AB交DE于O.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=45°,
∵DF∥AC,
∴∠FDB=∠C=90°,
∴∠DFB=∠DBF=45°,
∴DF=DB,
∵∠ADE=∠FDB=90°,
∴∠ADF=∠EDB,
∵DA=DE,DF=DB
∴△ADF≌△EDB(SAS),
∴AF=BE,∠DAF=∠E,
∵∠AOD=∠EOB,
∴∠ABE=∠ADO=90°
故答案為:①AF=BE,②90°.
(2)拓展探究:
結(jié)論:AF=BE,∠ABE=α.理由如下:
∵DF‖AC
∴∠ACB=∠FDB=α,∠CAB=∠DFB,
∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB,
∴∠ABC=∠DFB,
∴DB=DF,
∵∠ADF=∠ADE﹣∠FDE,∠EDB=∠FDB﹣∠FDE,
∴∠ADF=∠EDB,
∵AD=DE,DB=DF
∴△ADF≌△EDB(SAS),
∴AF=BE,∠AFD=∠EBD
∵∠AFD=∠ABC+∠FDB,∠DBE=∠ABD+∠ABE,
∴∠ABE=∠FDB=α.
(3)解決問(wèn)題
①如圖(3)中,當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí),
由(2)可知:BE=AF,
∵DF∥AC,
∴,
∵AB=8,
∴AF=2,
∴BE=AF=2,
②如圖(4)中,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),
∵AC∥DF,
∴,
∵AB=8,
∴BE=AF=4,
故BE的長(zhǎng)為2或4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年9月30日,由著名導(dǎo)演李仁港執(zhí)導(dǎo)的電影《攀登者》在各大影院上映后,好評(píng)不斷,小亮和小麗都想去觀看這部電影,但是只有一張電影票,于是他們決定采用模球的辦法決定勝負(fù),獲勝者去看電影,游戲規(guī)則如下:在一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)1-4的四個(gè)球(除編號(hào)外都相同),從中隨機(jī)摸出一個(gè)球,記下數(shù)字后放回,再?gòu)闹忻鲆粋(gè)球,記下數(shù)字,若兩次數(shù)字之和大于5,則小亮獲勝,若兩次數(shù)字之和小于5,則小麗獲勝.
(1)請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法表示出隨機(jī)摸球所有可能的結(jié)果;
(2)分別求出小亮和小麗獲勝的概率,并判斷這種游戲規(guī)則對(duì)兩人公平嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是某公園一圓形噴水池,在池中心豎直安裝一根水管OA=1.25m,A處是噴頭,水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下,水落地后形成一個(gè)圓,圓心為O,直徑為線段CB.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,若水流路線達(dá)到最高處時(shí),到x軸的距離為2.25m,到y軸的距離為1m,則水落地后形成的圓的直徑CB=_____m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校舉行漢字聽(tīng)寫(xiě)大賽,學(xué)習(xí)對(duì)參賽者獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),根據(jù)比賽成績(jī)列出統(tǒng)計(jì)表,并繪制了扇形統(tǒng)計(jì)圖
(1)參加此次比賽的學(xué)生共______________人.
(2)
(3)若從一等獎(jiǎng)中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生,參加市級(jí)漢字聽(tīng)寫(xiě)大賽,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法,求出所選的兩名學(xué)生正好為一男一女的概率.
等次 | 男生 | 女生 |
一等獎(jiǎng) | 3 | m |
二等獎(jiǎng) | 6 | 12 |
三等獎(jiǎng) | 8 | 9 |
鼓勵(lì)獎(jiǎng) | 6 | n |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列計(jì)算:①;②(x﹣2y)2=x2﹣4y2;③(﹣a)4a3=﹣a7;④x10÷x5=x2,其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解九年級(jí)男同學(xué)1000米跑步的成績(jī),隨機(jī)抽取了部分男生進(jìn)行測(cè)試,并將測(cè)試成績(jī)分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),繪制了不完整的成績(jī)等級(jí)頻數(shù)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
成績(jī)等級(jí) | 頻數(shù) |
A | 24 |
B | 10 |
C | b |
D | 2 |
合計(jì) | a |
(1)表中a= ,b= ;
(2)扇形圖中C的圓心角度數(shù)是 ;
(3)若該校共有九年級(jí)男生600人,請(qǐng)估計(jì)沒(méi)有獲得A等級(jí)的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AE平分∠BAD交DC于點(diǎn)E,AD=5cm,AB=8cm.
(1)求EC的長(zhǎng).
(2)作∠BCD的平分線交AB于F,求證:四邊形AECF為平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=a(x+1)(x﹣m)(a為非零常數(shù),1<m<2),當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x的增大而增大,說(shuō)法正確的是( )
A.若圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),則﹣<a<0
B.若x>﹣時(shí),則y隨x的增大而增大
C.若(﹣2020,y1),(2020,y2)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y1<y2
D.若圖象上兩點(diǎn)(,y1),(+n,y2)對(duì)一切正數(shù)n,總有y1>y2,則≤m<2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)E是A邊上一點(diǎn),且AE=,點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn),把△BEF沿EF翻折,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG,CG,則四邊形AGCD的面積的最小值為_____.
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