Question

如圖，將一矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)A在y軸正半軸上．點(diǎn)E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F．

（1）若△OAE、△OCF的面積分別為S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OA=2.0C=4．問當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)．四邊形OAEF的面積最大．其最大值為多少？

Answer 1

（1）2  （2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5．

試題分析：（1）設(shè)E（x₁，），F(xiàn)（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，根據(jù)三角形的面積公式得到S₁=S₂=k，利用S₁+S₂=2即可求出k；
（2）設(shè)，，利用S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC﹣S_△BEF﹣S_△OCF=﹣+5，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題即可得到當(dāng)k=4時(shí)，四邊形OAEF的面積有最大值，S_{四邊形OAEF}=5，此時(shí)AE=2．
解：（1）∵點(diǎn)E、F在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，
∴設(shè)E（x₁，），F(xiàn)（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，
∴S₁=，S₂=，
∵S₁+S₂=2，
∴=2，
∴k=2；
（2）∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，
設(shè)，，
∴BE=4﹣，BF=2﹣，
∴S_△BEF=﹣k+4，
∵S_△OCF=，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC﹣S_△BEF﹣S_△OCF=+4，
=﹣+5，
∴當(dāng)k=4時(shí)，S_{四邊形OAEF}=5，
∴AE=2．
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)k的幾何含義和點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足反比例的解析式．也考查了二次的頂點(diǎn)式及其最值問題．