【題目】如圖①,在等腰直角三角形中,,,D,E分別在上,且,此時(shí)有,.
(1)如圖①中 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖②時(shí)上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(2)將圖①中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至DE與直線AC垂直,直線BD交CE于點(diǎn)F,若,,請(qǐng)畫出圖形,并求出BF的長(zhǎng).
【答案】(1)仍然成立;(2)畫圖見解析;長(zhǎng)為或.
【解析】
(1)結(jié)論:BD=CE,BD⊥CE.如圖1中,延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于H.證明△BAD≌△CAE(SAS),即可解決問題;(2)分兩種中情況分別求解①當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度是45°時(shí),②當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度是225°時(shí),先證明△ABD≌△ACE(SAS),從而求解DE,EC 的邊長(zhǎng),再通過角的代換證明BF⊥EC,再證明Rt△DEF∽Rt△CEG,通過對(duì)應(yīng)邊成比例,求出FC的長(zhǎng)度,最后再直角三角形△BCF用勾股定理求得BF的長(zhǎng)度.
解:(1) 仍然成立
延長(zhǎng)交于點(diǎn),
和都是等腰直角三角形,
,,
,
,
,
,
, ,
;
(2)如圖,長(zhǎng)為或,
∵DE與直線AC垂直,
①當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度是45°時(shí),如圖2:
在△ABD和△ACE中,
AE=AD,∠BAD=∠CAE=45°,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=EC,
∵AB=20,AD=5,
∴AC=20,AE=5,
∵∠DAE=90°,
∴DE=10,
∵△AED是等腰直角三角形,
∴AG=GE=5,
∴GC=15,
在直角三角形GEC中,EC=5,
又∵∠ABD=∠ACE,∠BCA=45°,∠ABC=45°,
∴∠DBC+∠BCA+∠ACE=90°,
∴BF⊥EC,
∵∠EFD=∠EGC=90°,∠EDF=∠ECG,
∴Rt△DEF∽Rt△CEG,
∴ ,
∴,
∴EF=,
∴FC=4,
在Rt△ABC中,BC=20,
在Rt△BCF中,BF=;
②當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度是225°時(shí),如圖3,
在△ABD和△ACE中,
AE=AD,BAD=∠CAE=45°,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=EC,
∵AB=20,AD=5,
∴AC=20,AE=5,
∵∠DAE=90°,
∴DE=10,
∵△AED是等腰直角三角形,
∴AG=GE=5,
∴GC=25,
在直角三角形GEC中,EC=5,
又∵∠ABD=∠ACE,∠ABC=45°,∠ACB=45°,
∴∠DBA+∠ABC+∠ACE=90°,
∴BF⊥EC,
∵∠EFD=∠EGC=90°,∠EDF=∠ECG,
∴Rt△DEF∽Rt△CEG,
∴,
∴,
∴EF=,
∴FC=,
在Rt△ABC中,BC=20,
在Rt△BCF中,BF=;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)計(jì)算: ﹣2sin45°+(2﹣π)0﹣()﹣1;
(2)先化簡(jiǎn),再求值 (a2﹣b2),其中a=,b=﹣2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B、C三人玩籃球傳球游戲,游戲規(guī)則是:第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B,C兩人中的某一人,以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人.
(1)求兩次傳球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九(1)班開展了“讀一本好書”的活動(dòng),班委會(huì)對(duì)學(xué)生閱讀書籍的情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,問卷設(shè)置了“小說”“戲劇”“散文”“其他”四個(gè)類別,每位同學(xué)僅選一項(xiàng).根據(jù)調(diào)査結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
類別 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
小說 | a | 0.5 |
戲劇 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合計(jì) | b | 1 |
根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:
(1)直接寫出:a= .b= m= ;
(2)在調(diào)查問卷中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)選擇了“戲劇”類,現(xiàn)從中任意選出2名同學(xué)參加學(xué)校的戲劇社團(tuán),請(qǐng)求選取的2人恰好是甲和乙的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連接DE、CE.
(1)求證:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P,M.對(duì)于下列結(jié)論:①△BAE∽△CAD;②MPMD=MAME;③2CB2=CPCM.其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ① C. ①② D. ②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(操作發(fā)現(xiàn))
如圖①,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)請(qǐng)按要求畫圖:將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′,連接BB′;
(2)在(1)所畫圖形中,∠AB′B=____.
(問題解決)
(3)如圖②,在等邊三角形ABC中,AC=7,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.
小明同學(xué)通過觀察、分析、思考,對(duì)上述問題形成了如下想法:
想法一:將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′B,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系;
想法二:將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.…
請(qǐng)參考小明同學(xué)的想法,完成該問題的解答過程.(一種方法即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,E為DC的中點(diǎn),AD:AB=:2,CP:BP=1:2,連接EP并延長(zhǎng),交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,AP、BE相交于點(diǎn)O.下列結(jié)論:①EP平分∠CEB;②=PBEF;③PFEF=2;④EFEP=4AOPO.其中正確的是( 。
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),∠AEF的角平分線交AB于點(diǎn)M,∠EFC的角平分線交CD于點(diǎn)N,連接MF、NE.
(1)求證:四邊形EMFN是平行四邊形.
(2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索,他猜想:當(dāng)AB=AD時(shí),四邊形EMFN是矩形.請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路.
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