Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y=

4

3

x+8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、點(diǎn)C，且與x軸的另一交點(diǎn)為B（10，0），又點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)、拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）在圖1中的上找一點(diǎn)P₀，使P₀到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最小；并求△PAC周長的最小值；
（3）如圖2，在線段CO上有一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O移動(dòng)（M不與端點(diǎn)C、O重合），過點(diǎn)M作MH∥CB交x軸于點(diǎn)H，設(shè)M移動(dòng)的時(shí)間為秒，試把△P₀HM的面積S表示成時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)與坐標(biāo)中交點(diǎn)求法得出A，C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由軸對(duì)稱可知該題周長最小即為 AC+BC的長，從而求出；
（3）由△OBC∽△CMN，得到高關(guān)于t的式子，因?yàn)镸H∥BC，得到△MHP₀三角形底邊關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)t的取值范圍，從而求得S的最大值．

解答：解：（1）由題意直線AC與x軸的交點(diǎn)為A，
所以當(dāng)y=0，則x=-6，
所以點(diǎn)A（-6，0）．
同理點(diǎn)C（0，8），
點(diǎn)B（10，0），
由點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)式為y=ax²+bx+c，

36a-6b+c=0 c=8 100a+10b+c=0

，
解得：

a=- 2 15 b= 8 15 c=8

，
得出y=-

2

15

x2 +

8

15

x+8=-

2

15

（x-2）²+

128

15

．
頂點(diǎn)N（2，

128

15

）；

（2）要使P₀到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最小，根據(jù)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出，連接BC，交對(duì)稱軸于一點(diǎn)P，
此時(shí)P₀到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最小，
可知三角形PAC最小即為AC+BC，
∵AC=

62+82

=10，BC=

82+102

=2

41

，
∴△PAC周長的最小值為：10+2

41

，

（3）如圖，作MN⊥BC于點(diǎn)N，
∵∠MCN=∠OCB，∠MNC=∠COB，
∴△OBC∽△NCM，
所以

h

10

=

2t

2 41

，
即h=

10 41 t

41

．
因?yàn)镸H∥BC，
所以

8-2t

8

=

MH

BC

，
解得MH=

8-2t

8

BC=

8-2t

8

×2

41

=

41

4

(8-2t)，
S=

1

2

MH•h，
=

1

2

×

41

4

（8-2t）×

10 41 t

41

，
=10t-

5

2

t2，
因?yàn)槊棵胍苿?dòng)2個(gè)單位，
則當(dāng)t=-

b

2a

=2時(shí)符合范圍0＜t＜4，
所以當(dāng)t=2時(shí)S最大為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及利用三點(diǎn)求二次函數(shù)式、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用三角形面積求出S與t的關(guān)系是解題關(guān)鍵．