Question

(14分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過(guò)A(－2，0)、B(0，1)兩點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸是y軸．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，2)的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上的兩動(dòng)點(diǎn)．

1.(1) 求拋物線的解析式；

2.(2) 以點(diǎn)P為圓心，PO為半徑的圓記為⊙P，判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

3.(3) 設(shè)線段PQ＝9，G是PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)G到直線l距離的最小值．

 

Answer 1

 

1.．解：(1) ∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，∴b＝0．     …………………………1分

∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)、B(0，1)兩點(diǎn)，

∴c＝1，a＝－，     ……………………………………3分

∴所求拋物線的解析式為y＝－x2＋1．    ……………4分

2.(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(p，－p2＋1)，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，

∵PH＝2－(－p2＋1)＝p2＋1，         …………………6分

OP＝＝－p2＋1，     ………………8分

∴OP＝PH，

∴直線l與以點(diǎn)P為圓心，PO長(zhǎng)為半徑的圓相切．    …………………………………9分

3.(3) 如圖，分別過(guò)點(diǎn)P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F. 連接EG并延長(zhǎng)交DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，

∵G是PQ的中點(diǎn)，

∴易證得△EQG≌△KPG，

∴EQ＝PK，        ………………………………………11分

由(2)知拋物線y＝－x2＋1上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到直線l：y＝2的距離，

 即EQ＝OQ，DP＝OP，    …………………………………12分

∴ FG＝DK＝(DP＋PK)＝(DP＋EQ)＝(OP＋OQ)， ……13分

∴只有當(dāng)點(diǎn)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)G到直線l的距離GF最小，

∵PQ＝9，

∴GF≥4.5，即點(diǎn)G到直線l距離的最小值是4.5．      …………………………………14分

(若用梯形中位線定理求解扣1分)

 

解析:略