【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx2x軸交于AB兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,已知A1,0),且tanABC=.

1)求拋物線的解折式.

2)在直線BC下方拋物線上一點(diǎn)P,當(dāng)四邊形OCPB的面積取得最大值時(shí),求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

3)在y軸的左側(cè)拋物線上有一點(diǎn)M,滿足∠MBA=ABC,若點(diǎn)N是直線BC上一點(diǎn),當(dāng)MNB為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】1)拋物線的解折式為y=x2x2;

2P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,);

3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣2, )或(8, )或(﹣,)或(﹣,).

【解析】試題分析:(1)由解析式求得C的坐標(biāo),然后根據(jù)tan∠ABC=求得OB=3,從而求得B的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式;

2)過點(diǎn)Py軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)E,設(shè)Px,x2﹣2x﹣3),易得,直線BC的解析式為y=x﹣3Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(xx﹣3),再根據(jù)S四邊形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ即可得出結(jié)論.

3)根據(jù)題意求得M的坐標(biāo),然后分三種情況討論求得即可.

解:(1)由拋物線y=ax2+bx﹣2可知C的坐標(biāo)為(0,﹣2),

∴OC=2,

∵tan∠ABC==

∴OB=3

∴B3,0),

∵A﹣1,0),

A、B的坐標(biāo)代入y=ax2+bx﹣2得:

解得,

拋物線的解折式為y=x2x﹣2;

2)過點(diǎn)Py軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)E,

設(shè)Px,x2x﹣2),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+bk≠0),

∵B3,0),C0,﹣2),

,

解得,

直線BC的解析式為y=x﹣2

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(xx﹣2),

∴S四邊形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ

=ABOC+QPOE+QPEB

=×4×2+2x﹣x2×3

=﹣x2+3x+4

=﹣x﹣2+,

當(dāng)x=時(shí),四邊形ABPC的面積最大,最大面積為.此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為().

3)設(shè)直線AMy軸于D,

∵∠MBA=∠ABC,

∴OD=OC=2

∴D0,2),

設(shè)直線AM的解析式為y=mx+2,

代入B30)得0=3m+2,解得m=﹣

直線AM的解析式為y=﹣x+2,

,

∴M﹣2),

設(shè)Nx,x﹣2),

∵BM2=3+22+2,MN2=x+22+x﹣2﹣2BN2=x﹣32+x﹣22,

當(dāng)MB=BN時(shí),N﹣2,)或(8,);

當(dāng)MB=MN時(shí),則(3+22+2=x+22+x﹣2﹣2,

整理得13x2﹣28x﹣33=0,

解得x1=3x2=﹣

∴N,);

當(dāng)BN=MN時(shí),(x+22+x﹣2﹣2=x﹣32+x﹣22,

整理得10x=﹣35,

解得x=﹣

∴N,);

綜上,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣2,)或(8)或(,)或(,).

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