Question

【題目】木匠黃師傅用長AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設計了四種方案：
方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；
方案二：圓心O1、O2分別在CD、AB上，半徑分別是O1C、O2A，鋸兩個外切的半圓拼成一個圓；
方案三：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓；
方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓．

（1）寫出方案一中圓的半徑；
（2）通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？
（3）在方案四中，設CE=x（0＜x＜1），圓的半徑為y．
①求y關于x的函數(shù)解析式；
②當x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方案一中的最大半徑為1．

分析如下：

因為長方形的長寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1

（2）

解：如圖1，方案二中連接O1，O2，過O1作O1E⊥AB于E，方案三中，過點O分別作AB，BF的垂線，交于M，N，此時M，N恰為⊙O與AB，BF的切點．

方案二：

設半徑為r，

在Rt△O1O2E中，

∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO2﹣CO1=3﹣2r，

∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，

解得 r= ．

方案三：

設半徑為r，

在△AOM和△OFN中，

，

∴△AOM∽△OFN，

∴ ，

∴ ，

解得 r= ．

比較知，方案三半徑較大

（3）

解：①∵EC=x，

∴新拼圖形水平方向跨度為3﹣x，豎直方向跨度為2+x．

類似（1），所截出圓的直徑最大為3﹣x或2+x較小的．

a．當3﹣x＜2+x時，即當1＞x＞ 時，y= （3﹣x）；

b．當3﹣x=2+x時，即當x= 時，y= （3﹣ ）= ；

c．當3﹣x＞2+x時，即當0＜x＜ 時，y= （2+x）．

②當x＞ 時，y= （3﹣x）＜ （3﹣ ）= ；

當x= 時，y= （3﹣ ）= ；

當x＜ 時，y= （2+x）＜ （2+ ）= ，

∴方案四中，當x= 時，y最大為 ．

∵1＜ ＜ ＜ ，

∴方案四時可取的圓桌面積最大

【解析】（1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，由已知長寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1．（2）方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對應邊長成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長的題目．一般都先設出所求邊長，而后利用關系代入表示其他相關邊長，方案二中可利用△O1O2E為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后對應邊成比例整理方程，進而可求r的值．（3）①類似（1）截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過橫縱向方向跨度．則選擇最小跨度，取其 ，即為半徑．由EC為x，則新拼圖形水平方向跨度為3﹣x，豎直方向跨度為2+x，則需要先判斷大小，而后分別討論結論．②已有關系表達式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案四中的最大半徑．另與前三方案比較，即得最終結論．