Question

在直角坐標(biāo)系中，有以A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）為頂點(diǎn)的正方形，設(shè)正方形在直線y₁=x上方及直線y₂=-x+2a上方部分的面積為S，
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求S的值；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，將兩直線繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，求S的值；
（3）a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，求S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，可得y₂=-x+1，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知S的值等于大正方形面積的

1

4

；
（3）分①當(dāng)a＜-1時(shí)；②當(dāng)-1≤a＜0時(shí)；③當(dāng)0≤a＜1時(shí)；④當(dāng)a≥1時(shí)；四種情況討論可求S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，y₂=-x+1，
如圖1．
直線y₁=x與直線y₂=-x+1的交點(diǎn)是E（

1

2

，

1

2

），
S=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；

（2）當(dāng)a=0時(shí)，y₂=-x，
S=

1

2

×

1

2

=

1

4

；

（3）①當(dāng)a＜-1時(shí)，如圖2，
△ADC的面積是S，
S=

1

2

×2×2=2；
②當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，如圖3，
直線y=x與y=-x+2a的交點(diǎn)是E（a，a），
EG=（1-|a|）=1+a，
AF=2（1+a），
S=S_△ADC-S_△AEF
=2-

1

2

（1+a）×2（1+a）
=2-（1+a）²；
③當(dāng)0≤a＜1時(shí)，如圖4，
直線y=x與y=-x+2a的交點(diǎn)是E（a，a），
EG=1-a，
CF=2（1-a），
S=S_△CEF=

1

2

（1-a）×2（1-a）=（1-a）²；
④當(dāng)a≥1時(shí)，如圖5，S=0．
∴S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為：
①當(dāng)a＜-1時(shí)，S=2；②當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，S=2-（1+a）²；③當(dāng)0≤a＜1時(shí)，S=（1-a）²；④當(dāng)a≥1時(shí)，S=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：圖形的面積計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，難度中等．