6.如圖,BD和CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于F,連接AD.
(1)求證:∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC;
(2)若AB=AC,請判斷△ABD的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的條件下,若AF=BF,求∠EBA的大。

分析 (1)根據(jù)角平分線的定義得到∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE,∠BAC+∠ABC=∠ACE,于是得到∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC,等量代換即可得到結(jié)論;
(2)作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DM=DH,DN=DH,等量代換得到DM=DN,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB,等量代換得到∠GAD=∠ABC,推出AD∥BC,由平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠DBC,證得∠ABD=∠ADB,即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAF=∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA,BD交AC于F,
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE,∠BAC+∠ABC=∠ACE,
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC.

(2)△ABD為等腰三角形,證明如下:
作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H
∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA,
∴DM=DH,DN=DH,
∴DM=DN,
∴AD平分∠CAG,即∠GAD=∠CAD,
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠GAD=∠ABC,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
又∵∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∴△ABD為等腰三角形;

(3)∵AF=BF,
∴∠BAF=∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°,∠ABC=∠ACB,
∴$\frac{5}{2}$∠ABC=180°,
∴∠ABC=72°.

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì),角平分線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和,三角形的外角的性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

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