Question

已知，在△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，角A的平分線交CD于F，交BC于F，過點E作EH⊥AB于H．
（1）求證：CE=CF=EH；
（2）若H為AB中點，∠B是多少度？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據角平分線的性質可得CE=EH，即可證得Rt△ACE≌Rt△AHE，得到∠AEC=∠AHG，根據等角對等邊證明CF=CE，即可證得；
（2）根據（1）的證明可得∠EAH=∠B=∠CAE，根據直角三角形的兩銳角互余即可求得．

解答：（1）證明：∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EH⊥AB，
∴EH=CE，
∵∠ACE=∠AHE=90°，
∴在Rt△ACE和Rt△AHE中

AE=AE CE=EH

，
∴Rt△ACE≌Rt△AHE（HL），
∴∠AEC=∠AHG，
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴CD∥EH，
∴∠HEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∴CE=CF=EH

（2）解：設∠B=x°，則∠EAH=∠B=∠CAE=x°，
∴3x=90° 
解得：x=30°

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質以及等腰三角形的判定定理，正確證明∠CEF=∠CFE是關鍵．