Question

【題目】發(fā)現(xiàn)問題：

（1）如圖①，四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形，其中S△ABC＝15，BC＝6，DE＝4，則S四邊形DEFG＝　 　；

探究問題：（2）如圖②，在△ABC中，D是BC邊上一點且BD＝AD＝AC＝10，∠BAD＝40°，請以點D為頂點作△ABC的內(nèi)接三角形DEF（點E、F分別在AB、AC上），求其周長的最小值；

解決問題：（3）小紅同學(xué)參加了物理課外興趣小組．圖③是其制作的一個光電感應(yīng)裝置在某時刻的平面情景圖，在邊長為20厘米的正方形ABCD中，P為AB的中點，點P位置是一個激光發(fā)射器，可以左右來回180°轉(zhuǎn)動，同時在正方形ABCD內(nèi)發(fā)出兩條互相垂直的藍色光線PE、PF，E、F是落在AD、DC、CB三邊上的兩個光點，E、F、P三點會在正方形ABCD內(nèi)自動感應(yīng)出一個發(fā)光△PEF，請問在激光器轉(zhuǎn)動發(fā)射的過程中，形成的△PEF面積有無最大值，如果有，請求出；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30；（3）有，125cm2

【解析】

（1）如圖①中，作AH⊥BC于H，交DE于T．利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

（2）如圖②中，作點D關(guān)于AB的對稱點D′，作點D關(guān)于AC的對稱點D″，連接D′D″交AB于E，交AC于F，連接DE，DF，此時△DEF的周長最小．證明△AD′D″是頂角為120°的等腰三角形即可解決問題．

（3）分三種情形：如圖3中，當點E在線段AD上，點F在線段CD上時．如圖④中，當點E在線段AD上，點F在線段BC上時．當點E在線段CD上，點F在線段BC上時，點E與點D重合時，分別求解即可解決問題．

（1）如圖①中，作AH⊥BC于H，交DE于T．

∵S△ABC＝BCAH＝15，BC＝6，

∴AH＝5，

∵四邊形DEFG是矩形，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴AT＝，

∴TH＝AH﹣AT＝5﹣＝，

∴矩形DEFG的面積＝DETH＝4×＝．

故答案為．

（2）如圖②中，作點D關(guān)于AB的對稱點D′，作點D關(guān)于AC的對稱點D″，連接D′D″交AB于E，交AC于F，連接DE，DF，此時△DEF的周長最�。�

∵AD＝DB＝AC，

∴∠DAB＝∠B＝40°，

∴∠ADC＝∠C＝∠B+∠DAB＝80°，

∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，

∵AD＝AD′＝AD″＝10，∠BAD＝∠BAD′，∠CAD＝∠CAD″，

∴∠D′AD″＝2∠BAC＝120°，

作AH⊥D′D″，

∵AD′＝AD″，

∴D′H＝HD″，∠D′AH＝∠D′AD″＝60°，

∴D′H＝AD′sin60°＝10×＝15，

∴D′D″＝2D′H＝30，

∵DE＝ED′，DF＝FD″，

∴△DEF的周長＝DE+EF+DF＝ED′+EF+FD″＝D′D″＝30，

∴△DEF的周長的最小值為30．

（3）如圖3中，當點E在線段AD上，點F在線段CD上時，作FH⊥AB于H．則四邊形BCFH是矩形，FH＝BC＝20cm．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝20cm，

∵∠A＝∠EPF＝∠FHP＝90°，

∴∠APE+∠FPH＝90°，∠FPH+∠PFH＝90°，

∴∠APE＝∠PFH，

∴△APE∽△HFP，

∴＝＝＝，

∴PF＝2PE，

∴當PF的值最大時，△PEF的面積最大，

∴當點F與C重合時，△PEF的面積最大，此時PF＝＝10cm，PE＝5cm，

∴此時△PEF的面積的最大值為×5×10＝125（cm2）．

如圖④中，當點E在線段AD上，點F在線段BC上時，延長EP交CB的延長線于H．

∵∠EAP＝∠PBH＝90°，∠APE＝∠BPH，AP＝PB，

∴△APE≌△BPH（ASA），

∴PE＝PH，

∵FP⊥EH，

∴FE＝FH，

∴S△EFP＝S△PFH＝FHPB＝5FH＝5EF，

∴EF的值最大時，△PEF的面積最大，

∴當點E與D重合或點F與點C重合時，△PEF的面積最大，最大面積＝125cm2，

當點E在線段CD上，點F在線段BC上時，點E與點D重合時，△PEF的面積最大，最大值為125cm2，

綜上所述，△PEF的面積有最大值，最大值為125cm2．