Question

（2012•石景山區(qū)二模）已知：直線y=

1

2

x+2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)P（a，b）在直線AB上，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式；
（2）設(shè)直線AB與線段P′O的交點(diǎn)為C．當(dāng)P′C=2CO時(shí)，求b的值；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AD∥y軸交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，若AD=

b

2

，求△P′DO的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P在直線AB上，a=1時(shí)，得出b的值，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出P′坐標(biāo)，求出反比例函數(shù)解析式即可；
（2）連接PP′，證出△PP'C∽△OCA，利用P′C=2CO，得出PP′=2OA，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得出a，b的值即可；
（3）分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，求出D，P′坐標(biāo)，求出△P′DO的面積即可．

解答：解：（1）如圖1，∵點(diǎn)P在直線AB上，a=1時(shí)，b=

1

2

×1+2=

5

2

，
∴P（1，

5

2

），
∴P′（-1，

5

2

），代入y=

k

x

得k=-

5

2

，
∴y=-

5

2x

，

（2）如圖1，連接PP′，
∵點(diǎn)P和點(diǎn)P'關(guān)于y軸對(duì)稱
∴PP′∥x軸
∴△PP'C∽△AOC，
∴PP′：OA=P′C：CO，
∵P′C=2CO，
∴PP′=2OA
∵y=

1

2

x+2與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，
∴A（-4，0），B（0，2）可得OA=4，
∴PP'=8，P和P’關(guān)于Y軸對(duì)稱，
∴a=4，
∴b=

1

2

×4+2=4；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)：
∵點(diǎn)P和點(diǎn)P'關(guān)于y軸對(duì)稱且P（a，b），
∴P'（-a，b），
∵AD∥y，
∴D（-4，

b

2

），
∵點(diǎn)P'、點(diǎn)D在y=

k

x

上，
∴-4×

b

2

=-a×b，
∴a=2，
∴b=

1

2

×2+2=3，
∵D（-4，

3

2

），P'（-2，3）
∴S△P′DO=

9

2

，
如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)：D（-4，-

b

2

），
∴-4×（-

b

2

）=-a×b，
∴a=-2，
∴b=

1

2

×（-2）+2=1，
∵D（-4，-

1

2

），P'（2，1），
故直線DP′的解析式為；y=

1

4

x+

1

2

，
則OE=

1

2

，
S_△P′OD=S_△P′EO+S_△DEO=

1

2

×

1

2

×2+

1

2

×

1

2

×4=

3

2

．
綜上：S_△P′OD=

9

2

或

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，分類討論得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．