Question

（本題滿分14分）

問題1如圖①，一張三角形ABC紙片，點D、E分別是△ABC邊上兩點．

研究（1）：如果沿直線DE折疊，使A點落在CE上，則∠BDA′與∠A的數(shù)量關(guān)系是什么？

研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數(shù)量關(guān)系是什么？

研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

Answer 1

(1)∠BDA′=2∠A；(2)∠BDA′+∠CEA′=2∠A；(3)∠BDA′-∠CEA′=2∠A；

(4)∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及折疊的特點即可得到結(jié)論；

（2）連接AA′，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）連接AA′構(gòu)造等腰三角形，然后結(jié)合三角形的外角性質(zhì)進行探討證明；

（4）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進行探討．

試題解析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；

（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知，∠CEA′=180°-2∠DEA′…①，∠BDA′=180°-2∠A′DE…②，

①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360°-2（∠DEA′+∠A′DE

即∠BDA′+∠CEA′=360°-2（180°-∠A），

故∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．

證明如下：

連接AA′構(gòu)造等腰三角形，

∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，

得∠BDA'-∠CEA'=2∠A，

（4）如圖④，由圖形折疊的性質(zhì)可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，

兩式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）

即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），

所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

考點：三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）.