Question

【題目】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過AC的中點O作EF⊥AC，交BC于點E，交AD于點F，連接AE，CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB= ，∠DCF=30°，求四邊形AECF的面積．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵O是AC的中點，且EF⊥AC，

∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFO=∠CEO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（AAS），

∴AF=CE，

∴AF=CF=CE=AE，

∴四邊形AECF是菱形

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB= ，

在Rt△CDF中，cos∠DCF= ，∠DCF=30°，

∴CF= =2，

∵四邊形AECF是菱形，

∴CE=CF=2，

∴四邊形AECF是的面積為：ECAB=2

【解析】（1）由過AC的中點O作EF⊥AC，根據線段垂直平分線的性質，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOF≌△COE，則可得AF=CE，繼而證得結論；（2）由四邊形ABCD是矩形，易求得CD的長，然后利用三角函數求得CF的長，繼而求得答案．
【考點精析】關于本題考查的菱形的判定方法和矩形的性質，需要了解任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能得出正確答案．