【題目】如圖,點(diǎn)P為正方形ABCD的對角線AC上的一點(diǎn),連接BP并延長交CD于點(diǎn)E,交AD的延長線于點(diǎn)F,⊙O是△DEF的外接圓,連接DP

1)求證:DP是⊙O的切線;

2)若tanPDC,正方形ABCD的邊長為4,求⊙O的半徑和線段OP的長.

【答案】1)見解析;(2)⊙O的半徑,.

【解析】

1)連接OD,可證△CDP≌△CBP,可得∠CDP=CBP,由∠CBP+BEC=90°,∠BEC=OED=ODE,可證出∠ODP=90°,則DP是⊙O的切線;

2)先求出CE長,在RtDEF中可求出EF長,證明△DPE∽△FPD,由比例線段可求出EP長,則OP可求出.

解:(1)連接OD,

正方形ABCD中,CDBC,CPCP∠DCP∠BCP45°,

∴△CDP≌△CBPSAS),

∴∠CDP∠CBP

∵∠BCD90°,

∴∠CBP+∠BEC90°,

∵ODOE,

∴∠ODE∠OED,

又∵∠OED∠BEC,

∴∠BEC∠OED∠ODE,

∴∠CDP+∠ODE90°,

∴∠ODP90°,

∴DP⊙O的切線;

2∵∠CDP∠CBE

∴tan,

∴CE,

∴DE2,

∵∠EDF90°,

∴EF⊙O的直徑,

∴∠F+∠DEF90°

∴∠F∠CDP,

Rt△DEF中,,

∴DF4

2,

∵∠F∠PDE,∠DPE∠FPD

∴△DPE∽△FPD,

,

設(shè)PEx,則PD2x,

,

解得x

∴OPOE+EP

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)xOy中,某一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的y的圖象交于A1m)、Bn,﹣1)兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).

1)求該一次函數(shù)的解析式;

2)求的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)校時(shí)需要從學(xué)校大門A、BC三個(gè)入口處中的任意一處測量體溫,體溫正常方可進(jìn)校.

1)甲同學(xué)在A入口處測量體溫的概率是 ;

2)求甲、乙兩位同學(xué)在同一入口處測量體溫的概率.(用畫樹狀圖列表的方法寫出分析過程)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)藝術(shù)節(jié)期間,學(xué)校向?qū)W生征集書畫作品,楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班(用A,B,C,D表示),對征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì),制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請根據(jù)以上信息,回答下列問題:

(1)楊老師采用的調(diào)查方式是 (填“普查”或“抽樣調(diào)查”);

(2)請你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,并估計(jì)全校共征集多少件作品?

(3)如果全校征集的作品中有5件獲得一等獎(jiǎng),其中有3名作者是男生,2名作者是女生,現(xiàn)要在獲得一等獎(jiǎng)的作者中選取兩人參加表彰座談會(huì),請你用列表或樹狀圖的方法,求恰好選取的兩名學(xué)生性別相同的概率.

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【題目】兩把大小不同、含30度角的三角板如圖放置,如圖,若AO2,點(diǎn)N在線段OD上,且NO1,點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將COD固定,AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中,線段PN長度的最大值是_____;最小值是_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,邊長為2的菱形ABCD,BD=2,E、F分別是AD,CD上的動(dòng)點(diǎn)(包含端點(diǎn)),且AE+CF=2,則線段EF長的最小值是__________.

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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn),以為頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作正方形.反比例函數(shù)分別經(jīng)過、兩點(diǎn)(1)如圖2,過、兩點(diǎn)分別作、軸的平行線得矩形,現(xiàn)將點(diǎn)沿的圖象向右運(yùn)動(dòng),矩形隨之平移;

試求當(dāng)點(diǎn)落在的圖象上時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)_____________.

設(shè)平移后點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,矩形的邊的圖象均無公共點(diǎn),請直接寫出的取值范圍____________.

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【題目】數(shù)學(xué)實(shí)踐小組想利用鏡子的反射測量池塘邊一棵樹的高度AB.測量和計(jì)算的部分步驟如下:

①如圖,樹與地面垂直,在地面上的點(diǎn)C處放置一塊鏡子,小明站在BC的延長線上,當(dāng)小明在鏡子中剛好看到樹的頂點(diǎn)A時(shí),測得小明到鏡子的距離CD2米,小明的眼睛E到地面的距離ED1.5米;

②將鏡子從點(diǎn)C沿BC的延長線向后移動(dòng)10米到點(diǎn)F處,小明向后移動(dòng)到點(diǎn)H處時(shí),小明的眼睛G又剛好在鏡子中看到樹的頂點(diǎn)A,這時(shí)測得小明到鏡子的距離FH3米;

③計(jì)算樹的高度AB;

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,ACBD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)EOA的中點(diǎn),連接BE并延長交AD于點(diǎn)F,已知SAEF=4,則下列結(jié)論:①SBCE=36;SABE=12;④△AEFACD,其中一定正確的是( 。

A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③

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