【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax2+bx+c經(jīng)過A(﹣6,0)、B(2,0)、C(0,6)三點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個動點(diǎn)(不與A、D重合),過點(diǎn)Py軸的垂線,垂足為點(diǎn)E,連接AE

(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),PAE的面積為S,求Sx之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;

(3)過點(diǎn)P(﹣3,m)作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)F,連接EF,把PEF沿直線EF折疊,點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,求出P的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)拋物線解析式為:y=-x2﹣2x+6,拋物線的頂點(diǎn)D(﹣2,8);(2)9;(3)P′(,).

【解析】

1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),則代入求得a,b,c,進(jìn)而得解析式與頂點(diǎn)D.
(2)由PAD上,則可求AD解析式表示P點(diǎn).由SAPE=PEyP,所以S可表示,進(jìn)而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值.

(3)求出點(diǎn)P,過點(diǎn)P′P′My軸于點(diǎn)M,再根據(jù)相關(guān)條件解答即可.

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣6,0),B(2,0),C(0,6)三點(diǎn),

,解得:,

∴拋物線解析式為:y=x2﹣2x+6,

,

∴拋物線的頂點(diǎn)D(﹣2,8);

(2)A(﹣6,0),D(﹣2,8),

∴設(shè)AD的解析式y=2x+12,

∵點(diǎn)PAD上,

P(x,2x+12),

SAPE=PEyP=×(﹣x)(2x+12)=﹣x2﹣6x,

當(dāng)x=-3時,S最大=9;

(3)P′().

點(diǎn)PAD上,

∴當(dāng)﹣3時,y=2×(﹣3)+12=6,

∴點(diǎn)P(﹣3,6),

PF=6,PE=3,

過點(diǎn)P′P′My軸于點(diǎn)M,

∵△PEF沿EF翻折得P′EF,

∴∠PFE=P′FE,PF=P′F=6,PE=P′E=3,

PFy軸,

∴∠PFE=FEN,

∵∠PFE=P′FE,

∴∠FEN=P′FE,

EN=FN,

設(shè)EN=a,則FN=a,P′N=6﹣a,

RtP′EN中,P′N2+P′E2=EN2,即(6﹣a)2+32=a2,解得:a=,

SP′EN=P′NP′E=ENP′M,

P′M=,

RtEMP′中,EM=

OM=EO﹣EM=6﹣,

P′(,).

練習(xí)冊系列答案
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(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)點(diǎn)P為線段BC上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個動點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,CPQ的面積為S.

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;

②當(dāng)S最大時,在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上,若存在點(diǎn)F,使△DFQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數(shù))圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答問題.

(1)寫出過程ax2+bx+c=0的兩個根.

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A. OB≤OC B. OB<OC C. OB≥OC D. OB>OC

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