【題目】把兩個等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放,將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),如圖2,連接BD,EC,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<360°)
(1)當(dāng)DE⊥AC時,AD與BC的位置關(guān)系是 ,AE與BC的位置關(guān)系是 ;
(2)如圖2,當(dāng)點D在線段BE上時,求∠BEC的度數(shù);
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α= 時,△ABD的面積最大.
【答案】(1)垂直,平行;(2)∠BEC=90°;(3)90°或270°
【解析】
(1)根據(jù)題意畫出圖形,利用三線合一性質(zhì)可證明AD與BC垂直,再根據(jù)平行線的判定可證明AE與BC平行;
(2)利用等腰三角形的性質(zhì)證明△BAD≌△CAE,求出∠ADB=∠AEC=135°,所以∠BEC=∠AEC﹣45°=90°;
(3)根據(jù)題意畫出圖形,由題意知,點D的軌跡在以A為圓心,AD為半徑的圓上,在△ABD中,當(dāng)以AB為底時,當(dāng)點D到AB的距離最大時,△ABD的面積最大,當(dāng)AD⊥AB時,△ABD的面積最大,所以旋轉(zhuǎn)角為90°或270°.
解:(1)設(shè)AC與DE交于點H,
在等腰直角△ABC和△ADE中,
∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE,AB=AC,∠B=∠C=45°,
∵DE⊥AC,
∴∠DAH=∠EAH=∠DAE=45°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAH=45°,
∴∠BAD=∠DAH,
∴AD⊥BC,
∵∠EAH=∠C=45°,
∴AE∥BC,
故答案為:垂直,平行;
(2)在等腰直角△ADE中,AD=AE,∠DAE=90°,
在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC,
∠CAE=∠DAE﹣∠DAC=90°﹣∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ADB=∠AEC=180﹣∠ADE=135°,
∴∠BEC=∠AEC﹣45°=135﹣45°=90°;
(3)由題意知,點D的軌跡在以A為圓心,AD為半徑的圓上,如圖3﹣1,3﹣2,
在△ABD中,當(dāng)以AB為底時,當(dāng)點D到AB的距離最大時,△ABD的面積最大,
故如圖3﹣1,3﹣2所示,當(dāng)AD⊥AB時,△ABD的面積最大,所以旋轉(zhuǎn)角為90°或270°,
故答案為90°或270°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三點,點P是直線BC下方拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)是否存在點P,使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形?若存在,求出P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)動點P運動到什么位置時,△PBC面積最大,求出此時P點坐標(biāo)和△PBC的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了盡快實施“脫貧致富奔小康”宏偉意圖,某縣扶貧工作隊為朝陽溝村購買了一批蘋果樹苗和梨樹苗,已知一棵蘋果樹苗比一棵梨樹苗貴2元,購買蘋果樹苗的費用和購買梨樹苗的費用分別是3500元和2500元.
(1)若兩種樹苗購買的棵數(shù)一樣多,求梨樹苗的單價;
(2)若兩種樹苗共購買1100棵,且購買兩種樹苗的總費用不超過6000元,根據(jù)(1)中兩種樹苗的單價,求梨樹苗至少購買多少棵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1是一個由1~28的連續(xù)整數(shù)排成的“數(shù)陣”.如圖2,用2×2的方框圍住了其中的四個數(shù),如果圍住的這四個數(shù)中的某三個數(shù)的和是27,那么這三個數(shù)是a,b,c,d中的_____.
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【題目】如圖拋物線y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(﹣2,0)和點B,交y軸負半軸于點C,且OB=OC,下列結(jié)論:①;②;③;④.其中正確的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,G是CD的中點,E是邊AD上的動點,EG的延長線與BC的延長線交于點F,連結(jié)CE,DF.
(1)求證:四邊形CEDF為平行四邊形;
(2)若AB=6cm,BC=10cm,∠B=60°,
①當(dāng)AE= cm時,四邊形CEDF是矩形;
②當(dāng)AE= cm時,四邊形CEDF是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按如下方法,將△ABC的三邊縮小的原來的,如圖,任取一點O,連AO、BO、CO,并取它們的中點D、E、F,得△DEF,則下列說法正確的個數(shù)是( 。
①△ABC與△DEF是位似圖形②△ABC與△DEF是相似圖形
③△ABC與△DEF的周長比為1:2④△ABC與△DEF的面積比為4:1.
A. 1B. 2C. 3D. 4
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