Question

（2013•東陽(yáng)市模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（3，0），D、E在x軸上，F(xiàn)為平面上一點(diǎn)，且EF⊥x軸，直線DF與直線AB互相垂直，垂足為H，△AOB≌△DEF，設(shè)BD=h．
（1）若F坐標(biāo)（7，3），則h=

0

，若F坐標(biāo)（-10，-3），則DH=

36

5

；
（2）如h=

37

7

，則相對(duì)應(yīng)的F點(diǎn)存在

4

個(gè)，并請(qǐng)求出恰好在拋物線y=-

7

12

x2+

5

12

x+4上的點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）請(qǐng)求出4個(gè)值，滿足以A、H、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意求出DE=4，EF=3，確定點(diǎn)F的位置后可求出OB=3，所以h=BD=0；若F坐標(biāo)（-10，-3），則OE=10，DE=4，OD=6，再根據(jù)△FED∽△BHD中的比例關(guān)系

DH

DE

=

BD

FD

來(lái)求出DH=

36

5

．
（2）先根據(jù)h=

37

7

，求出點(diǎn)D坐標(biāo)為（-

16

7

，0）或（

58

7

，0）共兩個(gè)，因?yàn)镈H⊥AB，所以滿足條件的DH有2條，每條DH上滿足條件的F點(diǎn)有兩個(gè)，所以共有4個(gè)．根據(jù)△AOB≌△DEF，DE=4，EF=3，可分別求出對(duì)應(yīng)的4個(gè)F點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別代入拋物線y=-

7

12

x2+

5

12

x+4中可確定在拋物線上的點(diǎn)F．
（3）根據(jù)FH⊥AB，EF⊥x軸可以確定FH與EF不可能平行．所以從AF∥EH和FH∥AE兩個(gè)方面進(jìn)行分析．
當(dāng)AF∥EH時(shí)BD=h，則BH=

3

5

h  BE=4-h，利用△ABO∽△GEB和△GEH∽△GFA得到

GE

GF

=

GH

GA

，代入對(duì)應(yīng)的數(shù)值可得3h²-25h+25=0，從而求得h=

25±5 13

6

．
當(dāng)FH∥AE時(shí)，△DEF∽△EAB，此時(shí)分兩種情況：一種是點(diǎn)F在第二象限，另一種是點(diǎn)F在第四象限．都可以用△DEF∽△EAB中的

EF

AB

=

DF

BE

作為等量關(guān)系，得到關(guān)于h的方程，解方程即可求解．

解答：解：∵A（0，4），B（3，0）
∴OA=4  OB=3
∵△AOB≌△DEF
∴DE=4   EF=3
（1）若F坐標(biāo)（7，3），則 0E=7  EF=3  OD=7-4=3
∵OB=3
∴h=BD=0
若F坐標(biāo)（-10，-3），如圖，則OE=10  DE=4  OD=6
∴BD=OD+OB=9
∵△FED∽△BHD
∴

DH

DE

=

BD

FD

即

DH

4

=

9

5

∴DH=

36

5

（2）若h=

37

7

，則點(diǎn)D坐標(biāo)為D₁（-

16

7

，0）或D₂（

58

7

，0），如圖所示，相對(duì)應(yīng)的F點(diǎn)共有4個(gè)．

∵OE₁=-4-

16

7

=-

44

7

    OE₂=4-

16

7

=

12

7

  OE₃=3+

37

7

+4=

86

7

    OE₄=3+

37

7

+4=

30

7

∴這4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 F₁（-

44

7

，3 ）   F₂（

12

7

，3）F₃（

86

7

，3 ）  F₄（

30

7

，3）
分別把這4個(gè)點(diǎn)代入拋物線y=-

7

12

x2+

5

12

x+4中可得點(diǎn) F₂（

12

7

，3）在拋物線上．
（3）∵FH⊥AB  EF⊥x軸
∴FH與EF不可能平行
①當(dāng)AF∥EH時(shí)，如圖

此時(shí)，BD=h，則BH=

3

5

h  BE=4-h
∵△ABO∽△GEB
∴BE：GE：BG=3：4：5
∴BG=

20-5h

3

  GE=

16-4h

3

∵AF∥HE
∴△GEH∽△GFA
∴

GE

GF

=

GH

GA

∴

16-4h 3

3+ 16-4h 3

=

20-5h 3 + 3h 5

5+ 20-5h 3

化簡(jiǎn)得：3h²-25h+25=0
解得：h=

25±5 13

6

②當(dāng)FH∥AE時(shí)，如圖△DEF∽△EAB

∴

EF

AB

=

DF

BE

∵BE=BD-DE=h-4
∴

3

5

=

5

h-4

∴h=

37

3

③當(dāng)FH∥AE時(shí)，如圖△DEF∽△EAB

∴

EF

AB

=

DF

BE

∵BE=BD+DE=h+4
∴

3

5

=

5

h+4

∴h=

13

3

綜上可知：滿足以A、H、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形的h的4個(gè)值分別是

25+5 13

6

，

25-5 13

6

，

37

3

，

13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在第（3）題，要把握住梯形的性質(zhì)，根據(jù)題意確定FH與EF不可能平行，從AF∥EH和FH∥AE兩個(gè)方面進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．在有直角反復(fù)出現(xiàn)的圖形中利用直角三角形的全等和相似來(lái)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是常用的方法．