Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，將此矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜180°）得到矩形A1BC1D1，直線BA1、C1D1分別與直線CD相交于點(diǎn)E、F．

（1）若此矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，求DD1的長(zhǎng)；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D、A1、D1三點(diǎn)共線時(shí)，求△BCE的面積；

（3）在矩形ABCD旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個(gè)位置使得以B、E、F、D1為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出CF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DD1=；（2）S△BEC=；（3）CF=18．

【解析】

（1）延長(zhǎng)DC交C1D1于H，利用矩形的性質(zhì)可得DH和HD1長(zhǎng)，由勾股定理求解即可；

（2）連接BD，由HL定理可證△BDA1≌△DBC，設(shè)DE=BE=x，在Rt△BCE中，由勾股定理可知DE長(zhǎng)，易知CE長(zhǎng)，根據(jù)面積公式求解即可；

（3）由勾股定理可得EF長(zhǎng)，根據(jù)tan∠CEB=tan∠EBD1的表示可得EC長(zhǎng)，易求CF.

解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)DC交C1D1于H．

∵四邊形ABCD，四邊形A1BC1D1是矩形，∴∠A=∠ADH=∠AC1H=90°，∴四邊形ADHC1是矩形，∴DH=AC=8+6=14，HC1=AD=6，∠DHC1=∠DHD1=90°，∴HD1=8﹣6=2，∴DD1===．

（2）如圖2中，連接BD．

∵∠DA1B=∠DCB=90°．BD=DB，BA1=DC，∴△BDA1≌△DBC（HL），∴∠DBA1=∠BDC，∴ED=EB，設(shè)DE=BE=x，

在Rt△BCE中，∵BE2=EC2+BC2，∴x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣=，∴S△BEC=BCEC=×6×=．

（3）如圖3中，存在．

∵四邊形BD1FE是平行四邊形，∴EF=BD1==10．

∵EC∥BD1，∴∠CEB=∠A1BD1，∴tan∠CEB=tan∠EBD1，∴，∴，∴EC=8，∴CF=EC+EF=8=10=18．