【題目】如圖1,直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)A(m,0),B(0,n),且m+n=20(其中m>0,n>0).

(1)m為何值時(shí),△OAB面積最大?最大值是多少?
(2)如圖2,在(1)的條件下,函數(shù) 的圖象與直線(xiàn)AB相交于C、D兩點(diǎn),若 ,求k的值.
(3)在(2)的條件下,將△OCD以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向平移,如圖3,設(shè)它與△OAB的重疊部分面積為S,請(qǐng)求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式(0<t<10).

【答案】
(1)

解:∵A(m,0),B(0,n),

∴OA=m,OB=n.

∴SAOB=

∵m+n=20,

∴n=20﹣m,

∴SAOB= =- m2+10m=﹣ (m﹣10)2+50

∵a=﹣ <0,

∴拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下,

∴m=10時(shí),S最大=50


(2)

解:∵m=10,m+n=20,

∴n=10,

∴A(10,0),B(0,10),

設(shè)AB的解析式為y=kx+b,由圖象,得

,

解得: ,

y=﹣x+10.

∴設(shè)SOCD=8a.則SOAC=a,

∴SOBD=SOAC=a,

∴SAOB=10a,

∴10a=50,

∴a=5,

∴SOAC=5,

OAy=5,

∴y=1.

1=﹣x+10,

x=9

∴C(9,1),

∴1= ,

∴k=9;


(3)

解:移動(dòng)后重合的部分的面積是△O′C′D′,t秒后點(diǎn)O的坐標(biāo)為O′(t,0),

O′A=10﹣t,O′E=10.

∵C′D′∥CD,

∴△O′C′D′∽△O′CD,

,

S=40 ,

(0<t<10).


【解析】(1)由A(m,0),B(0,n),可以表示出OA=m,OB=n,由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論;(2)由(1)的結(jié)論可以求出點(diǎn)A點(diǎn)B的坐標(biāo),就可以求出直線(xiàn)AB的解析式,根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性就可以求出SOBD=SOAC的值,再由三角形的面積公式就可以求出其值;(3)根據(jù)平移的性質(zhì)可以求得△O′C′D′∽△O′CD,再由相似三角形的性質(zhì)就可以求出就可以求出SO′C′D′和SO′CD的面積關(guān)系,從而可以求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線(xiàn).反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.有兩條對(duì)稱(chēng)軸:直線(xiàn)y=x和 y=-x.對(duì)稱(chēng)中心是:原點(diǎn);性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí)雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第一、第三象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減; 當(dāng)k<0時(shí)雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第二、第四象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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