【題目】如圖1,直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)A(m,0),B(0,n),且m+n=20(其中m>0,n>0).
(1)m為何值時(shí),△OAB面積最大?最大值是多少?
(2)如圖2,在(1)的條件下,函數(shù) 的圖象與直線(xiàn)AB相交于C、D兩點(diǎn),若 ,求k的值.
(3)在(2)的條件下,將△OCD以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向平移,如圖3,設(shè)它與△OAB的重疊部分面積為S,請(qǐng)求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式(0<t<10).
【答案】
(1)
解:∵A(m,0),B(0,n),
∴OA=m,OB=n.
∴S△AOB= .
∵m+n=20,
∴n=20﹣m,
∴S△AOB= =- m2+10m=﹣ (m﹣10)2+50
∵a=﹣ <0,
∴拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下,
∴m=10時(shí),S最大=50
(2)
解:∵m=10,m+n=20,
∴n=10,
∴A(10,0),B(0,10),
設(shè)AB的解析式為y=kx+b,由圖象,得
,
解得: ,
y=﹣x+10.
∵ ,
∴設(shè)S△OCD=8a.則S△OAC=a,
∴S△OBD=S△OAC=a,
∴S△AOB=10a,
∴10a=50,
∴a=5,
∴S△OAC=5,
∴ OAy=5,
∴y=1.
1=﹣x+10,
x=9
∴C(9,1),
∴1= ,
∴k=9;
(3)
解:移動(dòng)后重合的部分的面積是△O′C′D′,t秒后點(diǎn)O的坐標(biāo)為O′(t,0),
O′A=10﹣t,O′E=10.
∵C′D′∥CD,
∴△O′C′D′∽△O′CD,
∴ ,
∴
S=40 ,
∴ (0<t<10).
【解析】(1)由A(m,0),B(0,n),可以表示出OA=m,OB=n,由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論;(2)由(1)的結(jié)論可以求出點(diǎn)A點(diǎn)B的坐標(biāo),就可以求出直線(xiàn)AB的解析式,根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性就可以求出S△OBD=S△OAC的值,再由三角形的面積公式就可以求出其值;(3)根據(jù)平移的性質(zhì)可以求得△O′C′D′∽△O′CD,再由相似三角形的性質(zhì)就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面積關(guān)系,從而可以求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線(xiàn).反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.有兩條對(duì)稱(chēng)軸:直線(xiàn)y=x和 y=-x.對(duì)稱(chēng)中心是:原點(diǎn);性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí)雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第一、第三象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減; 當(dāng)k<0時(shí)雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第二、第四象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠ABC=∠ADC=90°,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O,DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求△OEC的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)為(3,4)的拋物線(xiàn)交y軸于A點(diǎn),交x軸于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣5).
(1)求此拋物線(xiàn)的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線(xiàn)BD相切,請(qǐng)判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C有什么位置關(guān)系,并給出證明;
(3)在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P,使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.第三邊BC的長(zhǎng)為5,當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上,于是他們開(kāi)展了測(cè)算小橋所在圓的半徑的活動(dòng).小剛身高1.6米,測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米,同時(shí)測(cè)得EG的長(zhǎng)為3米,HF的長(zhǎng)為1米,測(cè)得拱高(弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離,即MN的長(zhǎng))為2米,求小橋所在圓的半徑.
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【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn),DE與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC,連接CE.試判斷CE和DF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,CB=CA,∠ACB=90°,點(diǎn)D在邊BC上(與B、C不重合),四邊形ADEF為正方形,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CA,交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,連接FB,交DE于點(diǎn)Q,給出以下結(jié)論: ①AC=FG;②S△FAB:S四邊形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC,
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是 .
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【題目】某校為了解本校九年級(jí)學(xué)生足球訓(xùn)練情況,隨機(jī)抽查該年級(jí)若干名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,然后把測(cè)試結(jié)果分為4個(gè)等級(jí):A、B、C、D,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖
(2)該年級(jí)共有700人,估計(jì)該年級(jí)足球測(cè)試成績(jī)?yōu)镈等的人數(shù)多少人;
(3)在此次測(cè)試中,有甲、乙、丙、丁四個(gè)班的學(xué)生表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四個(gè)班中隨機(jī)選取兩個(gè)班在全校舉行一場(chǎng)足球友誼賽.請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法,求恰好選到甲、乙兩個(gè)班的概率.
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