【題目】閱讀下列材料:數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題:
如圖1,在等邊中,點(diǎn)、在上,且,直線交于點(diǎn),交延長(zhǎng)線于點(diǎn),且,探究線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過(guò)思考,交流了自己的想法:
小明:“通過(guò)觀察和度量,發(fā)現(xiàn)與存在某種數(shù)量關(guān)系”;
小強(qiáng):“通過(guò)觀察和度量,發(fā)現(xiàn)圖1中有一條線段與相等”;
小偉:“通過(guò)構(gòu)造三角形,證明三角形全等,進(jìn)而可以得到線段之間的數(shù)量關(guān)系”.
……
老師:“保留原題條件,再過(guò)點(diǎn)作交于與相交于點(diǎn)(如圖2)如果給出的值,那么可以求出的值”.
請(qǐng)回答:
(1)在圖1中找出與數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)在圖1中找出與線段相等的線段,并證明;
(3)探究線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(4)若,求的值(用含的代數(shù)式表示).
【答案】(1),理由見詳解;(2),理由見詳解;(3),理由見詳解;(4)
【解析】
(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得:∠BDF+∠DEG=120°,由三角形外角的性質(zhì)得:∠DEG=60°+∠BCE,代入可得結(jié)論;
(2)先判斷出△ACD≌△BCE(SAS),得出∠ACD=∠BCE,CD=CE,進(jìn)而判斷出∠ACD=∠P,得CD=DP,即可得出結(jié)論;
(3)如圖2,作輔助線構(gòu)建三角形全等,證明,得,,設(shè),則,,由勾股定理得:,列方程可得結(jié)論;
(4)如圖3,作輔助線,設(shè),,,,,證明,由得,,得,由,得,即,計(jì)算,證明,可得結(jié)論.
解:(1)如圖1,∠BCE+∠BDF=60°,
證明:∵∠DGE=60°,
∴∠BDF+∠DEG=180°﹣60°=120°,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=60°,
∵∠DEG=∠B+∠BCE,
∴∠BDF+60°+∠BCE=120°,
∴∠BCE+∠BDF=60°;
(2)DP=CE,
證明:如圖1,連接CD,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=∠B=60°,AC=BC,
∵AD=BE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∵∠CAB=∠P+∠ADP=∠P+∠BDF=60°,
由(1)知:∠BDF+∠BCE=60°,
∴∠P=∠BCE=∠ACD,
∴CD=DP,
∴CE=DP;
(3)結(jié)論:AD2+ADBD+BD2=CE2,
證明:如圖2,在邊AC上截取AH=AD,連接DH,過(guò)D作DM⊥AC于M,連接CD,
∴∠CAB=60°,
∴△ADH是等邊三角形,
∴AD=DH=AH,∠AHD=60°,
∴∠DHC=∠PAD=120°,
由(2)知CD=PD,∠P=∠ACD,
∴△DHC≌△DAP(AAS),
∴CH=AP,
∵AC=AB,AH=AD,
∴AC﹣AH=AB﹣AD,即CH=BD,
∴BD=AP,
Rt△ADM中,∠ADM=30°,
設(shè),則,,
中,由勾股定理得:,
,
;
(4)如圖3,連接CD,過(guò)H作HQ∥DF,交CD于Q,則∠QHD=∠MDG,
設(shè)CH=x,FH=y,FG=a,DG=na,CE=CD=ma,
∵DH∥AC,
∴∠DHF=∠ACB=60°,
∵∠CGF=∠DGE=60°,
∴∠DHF=∠CGF,
∵∠DFH=∠CFG,
∴∠MDG=∠MCH,△CGF∽△DHF,
∵DH∥AC,
∴∠CDH=∠ACD=∠GCF=∠MDG=∠QHD,
∴QH=QD,
∵QH∥DF,
,,
,,
,即,
,
,
,即,
,
,
∵∠MCH=∠MDG,∠CMH=∠DMG,
∴△CMH∽△DMG,
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)E比動(dòng)點(diǎn)F先出發(fā)1秒,其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)如圖1,連接DE,AF.若DE⊥AF,求t的值;
(2)如圖2,連結(jié)EF,DF.當(dāng)t為何值時(shí),△EBF∽△DCF?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸分別交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn),頂點(diǎn)為,對(duì)稱軸交軸于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式.
(2)若點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn),以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),且與直線相切,求點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn),使得與相似?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).
(1)在圖中作出關(guān)于直線l對(duì)稱的;(要求A與,B與,C與相對(duì)應(yīng))
(2)作出繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的;
(3)在(2)的條件下求出線段CB在旋轉(zhuǎn)中所掃過(guò)的面積.(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年5月“亞洲文明對(duì)話大會(huì)”在北京成功舉辦,引起了世界人民的極大關(guān)注,某市一研究機(jī)構(gòu)為了了解歲年齡段市民對(duì)本次大會(huì)的關(guān)注程度,隨機(jī)選取了100名年齡在該范圍內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查,并將收集到的數(shù)據(jù)制成了如下尚不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布走訪圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖:
組別 | 年齡段 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
第1組 | 5 | |
第2組 | ||
第3組 | 35 | |
第4組 | 20 | |
第5組 | 15 |
(1)請(qǐng)直接寫出、的值及扇形統(tǒng)計(jì)圖中第3組所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(2)請(qǐng)補(bǔ)全上面的頻數(shù)分布直方圖;
(3)假設(shè)該市現(xiàn)有歲的市民300萬(wàn)人,問(wèn)第4組年齡段關(guān)注本次大會(huì)的人數(shù)經(jīng)銷商有多少萬(wàn)人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某區(qū)教育系統(tǒng)為了更好地宣傳掃黑除惡專項(xiàng)斗爭(zhēng),印制了應(yīng)知應(yīng)會(huì)手冊(cè),該區(qū)教育局想了解教師對(duì)掃黑除惡專項(xiàng)斗爭(zhēng)應(yīng)知應(yīng)會(huì)知識(shí)掌握程度,抽取了部分教師進(jìn)行了測(cè)試,并將測(cè)試成績(jī)繪制成下面兩幅統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息,回答下面問(wèn)題:
(1)計(jì)算樣本中,成績(jī)?yōu)?/span>98分的教師有 人,并補(bǔ)全兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖;
(2)樣本中,測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;
(3)若該區(qū)共有教師6880名,根據(jù)此次成績(jī)估計(jì)該區(qū)大約有多少名教師已全部掌握掃黑除惡專項(xiàng)斗爭(zhēng)應(yīng)知應(yīng)會(huì)知識(shí)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在城市改造中,市政府欲在一條人工河上架一座橋,河的兩岸PQ與MN平行,河岸MN上有A、B兩個(gè)相距50米的涼亭,小亮在河對(duì)岸D處測(cè)得∠ADP=60°,然后沿河岸走了110米到達(dá)C處,測(cè)得∠BCP=30°,求這條河的寬.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣2的圖象(記為拋物線C1)頂點(diǎn)為M,直線l:y=2x﹣a與x軸,y軸分別交于A,B.
(1)對(duì)于拋物線C1,以下結(jié)論正確的是 ;
①對(duì)稱軸是:直線x=1;②頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,﹣a﹣2);③拋物線一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).
(2)當(dāng)a>0時(shí),設(shè)△ABM的面積為S,求S與a的函數(shù)關(guān)系;
(3)將二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣2的圖象C1繞點(diǎn)P(t,﹣2)旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)的圖象(記為拋物線C2),頂點(diǎn)為N.
①當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí),旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)二次函數(shù)y的值都會(huì)隨x的增大而減小,求t的取值范圍;
②當(dāng)a=1時(shí),點(diǎn)Q是拋物線C1上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線C2上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q',試探究四邊形QMQ'N能否為正方形?若能,求出t的值,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE,DE的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)F,連接AD,CE.
(1)求證:AE=CE;
(2)若BC=,求AB的長(zhǎng).
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