【題目】(1)問題

如圖1,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,∠DPC=∠A=∠B=90°,求證:ADBC=APBP.

(2)探究

如圖2,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時,上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.

(3)應(yīng)用

請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題:如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度,由點A出了,沿邊AB向點B運動,且滿足∠DPC=∠A,設(shè)點P的運動時間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切時,求t的值.

【答案】(1)證明見試題解析;(2)成立,理由見試題解析;(3)1或5

【解析】

試題分析:(1)如圖1,由DPC=A=B=90°可得ADP=BPC,即可證到ADP∽△BPC,然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

(2)如圖2,由DPC=A=B=θ可得ADP=BPC,即可證到ADP∽△BPC,然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

(3)如圖3,過點D作DEAB于點E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3,根據(jù)勾股定理可得DE=4,由題可得DC=DE=4,則有BC=5﹣4=1.易證DPC=A=B.根據(jù)ADBC=APBP,就可求出t的值.

試題解析:(1)如圖1,∵∠DPC=A=B=90°,∴∠ADP+APD=90°,BPC+APD=90°,∴∠ADP=BPC,∴△ADP∽△BPC,,ADBC=APBP;

(2)結(jié)論ADBC=APBP仍然成立.理由:如圖2,

∵∠BPD=DPC+BPC,BPD=A+ADP,∴∠DPC+BPC=A+ADP,∵∠DPC=A=B=θ,∴∠BPC=ADP,∴△ADP∽△BPC,ADBC=APBP;

(3)如圖3,過點D作DEAB于點E.AD=BD=5,AB=6,AE=BE=3由勾股定理可得DE=4,以點D為圓心,DC為半徑的圓與AB相切,DC=DE=4,BC=5﹣4=1,AD=BD,∴∠A=B,∴∠DPC=A=B,由(1)、(2)的經(jīng)驗可知ADBC=APBP,5×1=t(6﹣t),解得:,t的值為1秒或5秒.

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(1)如圖①,當(dāng)α=90°時,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;

(2)如圖②,將圖①中的正方形ABCD改為ADC=120°的菱形,其他條件不變,當(dāng)α=60°時,(1)中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF=AD,請給出證明;

(3)在(2)的條件下,若旋轉(zhuǎn)過程中QPN的邊PQ與射線AD交于點E,其他條件不變,探究在整個運動變化過程中,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論,不用加以證明.

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