Question

（本題14分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止．設(shè)運動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

（3）當(dāng)t為何值時，△CPQ為等腰三角形？

Answer 1

（1）4.8；（2），存在，秒或；（3）2.4秒或秒或秒．

【解析】

試題分析：（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長．

（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問題．

（3）可分三種情況進(jìn)行討論：由CQ=CP可建立關(guān)于t的方程，從而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關(guān)于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似，即可建立關(guān)于t的方程，從而求出t．

試題解析：（1）如圖1，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．

∵CD⊥AB，∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD=．

∴線段CD的長為4.8．

（2）①過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．

由題可知DP=t，CQ=t．則CP=4.8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．

∴，∴，∴PH=．

∴S△CPQ=CQPH=．

②存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．

∵S△ABC=，且S△CPQ：S△ABC=9：100，

∴，整理得：，即，解得：或．

∵，∴當(dāng)或秒時，S△CPQ：S△ABC=9：100．

（3）①若CQ=CP，如圖1，則，解得：．

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA，∴．∴．解得：．

③若QC=QP，過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．

同理可得：．

綜上所述：當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．

考點：1．相似形綜合題；2．一元二次方程的應(yīng)用；3．等腰三角形的性質(zhì)．

考點分析： 考點1：一元二次方程 定義：
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：
它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中 ax²叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。 考點2：圖形的相似 形狀相同，大小不同的兩個圖形相似 試題屬性

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