Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且OA=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動．伴隨著P、Q的運(yùn)動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB﹣BO﹣OP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動的過程中，求△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）；

（3）在點(diǎn)E從B向O運(yùn)動的過程中，完成下面問題：

①四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

②當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時，請你直接寫出t的值．

【答案】（1）直線AB的解析式為；（2）S=﹣t2+t；

（3）四邊形QBED能成為直角梯形．①t=；②當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時，t=或．

【解析】分析：（1）首先由在Rt△AOB中,OA=3,AB=5,求得OB的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）過點(diǎn)Q作QF⊥AO于點(diǎn)F.由△AQF∽△ABO,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，借助于方程即可求得QF的長，然后即可求得的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①分別從DE∥QB與PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性質(zhì)，即可求得t的值；
②根據(jù)題意可知即時，則列方程即可求得t的值．

詳解：(1)在Rt△AOB中,OA=3,AB=5,由勾股定理得

∴A(3,0),B(0,4).

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.

∴.解得

∴直線AB的解析式為

(2)如圖1，過點(diǎn)Q作QF⊥AO于點(diǎn)F.

∵AQ=OP=t，∴AP=3t.

由△AQF∽△ABO,得

∴

∴

∴

∴

(3)四邊形QBED能成為直角梯形,

①如圖2,當(dāng)DE∥QB時，

∵DE⊥PQ，

∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形.

此時

由△APQ∽△ABO,得

∴

解得

如圖3,當(dāng)PQ∥BO時，

∵DE⊥PQ，

∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形.

此時

由△AQP∽△ABO,得

即

3t=5(3t)，

3t=155t，

8t=15，

解得

(當(dāng)P從A向0運(yùn)動的過程中還有兩個,但不合題意舍去).

②當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時，

∵DE垂直平分PQ，

∴EP=EQ=t，

由于P與Q相同的時間和速度，

∴AQ=EQ=EP=t，

∴∠AEQ=∠EAQ，

∵

∴∠BEQ=∠EBQ，

∴BQ=EQ，

∴

所以

當(dāng)P從A向O運(yùn)動時，

過點(diǎn)Q作QF⊥OB于F，

EP=6t,

即EQ=EP=6t，

AQ=t，BQ=5t，

∴

∴

∵

即

解得：

∴當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時, 或.

點(diǎn)睛：本題考查知識點(diǎn)較多，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握和運(yùn)用各個知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】如圖，反比例函數(shù)y＝(m≠0)與一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－6，2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，n)．求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】反比例函數(shù)： 一次函數(shù)：

【解析】先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出反比例函數(shù)的解析式，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組即可求得以此函數(shù)解析式。