【題目】如圖1,有一組平行線l1∥l2∥l3∥l4,正方形ABCD的四個頂點分別在l1,l2,l3,l4上,EG過點D且垂直l1于點E,分別交l2,l4于點F,G,EF=DG=1,DF=2.
(1)AE=__________,正方形ABCD的邊長=__________;
(2)如圖2,將∠AEG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到∠AE′D′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),點D′在直線l3上,以AD′為邊在E′D′左側(cè)作菱形AB′C′D′,使B′、C′分別在直線l2,l4上.
①寫出∠B′AD′與α的數(shù)量關(guān)系并給出證明;
②若α=30°,直接寫出菱形AB′C′D′的邊長為__________.
【答案】(1)1;(2)①∠B'AD'=90°-α;(3)
【解析】分析:
(1)如下圖1,由圖結(jié)合已知條件可證得△AED≌△DGC,由此即可得到AE=DG=1;
(2)①如下圖2,過點B′作B′M垂直于l1于點M,通過證Rt△AED′≌Rt△B′MA可得∠D′AE+∠B′AM=90°,由此可得∠B′AD′+α=90°,即∠B′AD′=90°-α;
②如下圖2,由l1∥l2∥l3可過點E′作E′O⊥l1于點O,E′O⊥l3于點N,當(dāng)α=30°時,易得OE=AE=,∠D′EN=30°,結(jié)合ON=3可得EN=,由此易得D′E=,這樣在Rt△AD′E中即可由勾股定理求得AD′的長.
詳解:
(1)如下圖1,由題意可得∠AEF=∠ADC=∠CGD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3,
又∵AD=CD,
∴△AED≌△DGC,
∴AE=DG=1,
又∵DE=EF+FD=1+2=3,
∴AD=,即正方形ABCD的邊長為;
(2)①∠B′AD′=90°-α;理由如下:
如下圖2,過點B′作B′M垂直于l1于點M,
∴∠B′MA=∠D′EA=90°,
由(1)可知MB′=AE=1,又∵AB′=ED′,
∴Rt△AED′≌Rt△B′MA,
∴∠B′AM=∠AD′E,
又∵∠D′AE+∠AD′E=90°,
∴∠D′AE+∠B′AM=90°,
∴∠B′AD′+α=90°,即∠B′AD′=90°-α;
(3)如上圖2,由由l1∥l2∥l3可過點E′作E′O⊥l1于點O,E′O⊥l3于點N,
∵α=30°,
∴OE==AE=,∠D′EN=30°,
又∵ON=3,
∴EN=,
∴在Rt△D′EN中,D′E=,
∴在Rt△AD′E中,AD′=,
即菱形AB′C′D′的邊長為.
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【題目】對于實數(shù)a、b,定義一種運算“”為:ab=a2 +ab-2,有下列命題:
①13=2;
②方程x1=0的根為:x1 =-2,x2 =1;
③不等式組 的解集為:-1<x<4;
④點(,)在函數(shù)y=x(-1)的圖象上.
其中正確的是( )
A. ①②③④ B. ①③ C. ①②③ D. ③④
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,定義直線x=m與雙曲線yn=的交點Am , n(m、n為正整數(shù))為“雙曲格點”,雙曲線yn=在第一象限內(nèi)的部分沿著豎直方向平移或以平行于x軸的直線為對稱軸進行翻折之后得到的函數(shù)圖象為其“派生曲線”.
(1)①“雙曲格點”A2 , 1的坐標(biāo)為 ;②若線段A4 , 3A4 , n的長為1個單位長度,則n= ;
(2)圖中的曲線f是雙曲線y1=的一條“派生曲線”,且經(jīng)過點A2 , 3 , 則f的解析式為y=
(3)畫出雙曲線y3=的“派生曲線”g(g與雙曲線y3=不重合),使其經(jīng)過“雙曲格點”A2 , a、A3 , 3、A4 , b .
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【題目】如圖,P是線段AB上任一點,AB=12 cm,C、D兩點分別從P、B同時向A點運動,且C點的運動速度為2 cm/s,D點的運動速度為3 cm/s,運動的時間為t s.
(1)若AP=8 cm.
①運動1 s后,求CD的長;
②當(dāng)D在線段PB運動上時,試說明AC=2CD;
(2)如果t=2 s時,CD=1 cm,試探索AP的值.
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【題目】下面是按一定規(guī)律排列且形式相似的一列數(shù):
第1個數(shù):a1=-(1+);
第2個數(shù):a2=-(1+)[1+][1+];
第3個數(shù):a3=-(1+)[1+][1+][1+](1+].
(1)計算這三個數(shù)的結(jié)果(直接寫答案):
a1=___;a2=___;a3=___;
(2)請按上述規(guī)律寫出第4個數(shù)a4的形式并計算結(jié)果;
(3)請根據(jù)上述規(guī)律寫出第n (n為正整數(shù))個數(shù)an的形式(中間部分用省略號,兩端部分必須寫詳細),然后直接寫出計算結(jié)果.
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【題目】如圖,已知AB∥CD,現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中,其中∠P=90°,PM交AB于點E,PN交CD于點F
(1)當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時,則∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時,求證:∠PFD﹣∠AEM=90°;
(3)在(2)的條件下,若MN與CD交于點O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度數(shù).
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=3,BC=2,若AC=AD且∠ACD=60°,則對角線BD的長最大值為______________.
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【題目】列方程或方程組解應(yīng)用題:
為了響應(yīng)學(xué)校提出的“節(jié)能減排,低碳生活”的倡議,班會課上小李建議每位同學(xué)都踐行“雙面打印,節(jié)約用紙”.他舉了一個實際例子:打印一份資料,如果用A4厚型紙單面打印,總質(zhì)量為400克,將其全部改成雙面打印,用紙將減少一半;如果用A4薄型紙雙面打印,總質(zhì)量為160克.已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克,求例子中的A4厚型紙每頁的質(zhì)量.(墨的質(zhì)量忽略不計)
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【題目】某超市用3 000元購進某種干果銷售,由于銷售狀況良好,超市又調(diào)撥9 000元購進該種干果,但這次的進價比第一次的進價提高了20%,購進干果數(shù)量比第一次的2倍還多300 kg.如果超市按9元/kg的價格出售,當(dāng)大部分干果售出后,余下的600 kg按售價的八折售完.
(1)該種干果第一次的進價是多少?
(2)超市銷售這種干果共盈利多少元?
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