(2012•槐蔭區(qū)二模)如圖,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,4),作BA⊥x軸于點(diǎn)A,作BC⊥y軸于點(diǎn)C,反比例函數(shù)y=
kx
(k>0)的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)F,分別連接OE、CF,OE與CF交于點(diǎn)M,連接AM.
(1)求反比例函數(shù)的函數(shù)解析式及點(diǎn)F的坐標(biāo);
(2)你認(rèn)為線段OE與CF有何位置關(guān)系?請說明你的理由.
(3)求證:AM=AO.
分析:(1)求出E的坐標(biāo),求出反比例函數(shù)的解析式,把x=4代入即可求出F的坐標(biāo);
(2)證△OCE≌△CBF,推出∠COE=∠BCF,求出∠ECF+∠CEO=90°即可;
(3)過M作MN⊥OC于N,證△CMO和△ECO相似,求出CM、OM,根據(jù)三角形的面積公式求出MN,根據(jù)勾股定理求出ON,得出M的坐標(biāo),根據(jù)勾股定理求出AM的值即可.
解答:(1)解:∵正方形ABCO,B(4,4),E為BC中點(diǎn),
∴OA=AB=BC=OC=4,CE=BE=2,F(xiàn)的橫坐標(biāo)是4,
∴E的坐標(biāo)是(2,4),
把E的坐標(biāo)代入y=
k
x
得:k=8,
∴y=
8
x
,
∵F在雙曲線上,
∴把F的橫坐標(biāo)是4代入得:y=2,
∴F(4,2),
答:反比例函數(shù)的函數(shù)解析式是y=
8
x
,點(diǎn)F的坐標(biāo)是(4,2).

(2)線段OE與CF的位置關(guān)系是OE⊥CF,
理由是:∵E的坐標(biāo)是(2,4),點(diǎn)F的坐標(biāo)是(4,2),
∴AF=4-2=2=CE,
∵正方形OABC,
∴OC=BC,∠B=∠BCO=90°,
∵在△OCE和△CBF中
OC=BC
∠B=∠OCE
CE=BF

∴△OCE≌△CBF,
∴∠COE=∠BCF,
∵∠BCO=90°,
∴∠COE+∠CEO=90°,
∴∠BCF+∠CEO=90°,
∴∠CME=180°-90°=90°,
即OE⊥CF.

(3)證明:∵OC=4,CE=2,由勾股定理得:OE=2
5

過M作MN⊥OC于N,
∵OE⊥CF,
∴∠CMO=∠OCE=90°,
∵∠COE=∠COE,
∴△CMO∽△ECO,
OC
OE
=
CM
CE
=
OM
OC
,
4
2
5
=
CM
2
=
OM
4

解得:CM=
4
5
5
,OM=
8
5
5
,
在△CMO中,由三角形的面積公式得:
1
2
×OC×MN=
1
2
×CM×OM,
即4MN=
4
5
5
×
8
5
5
,
解得:MN=
8
5
,
在△OMN中,由勾股定理得:ON=
OM2-MN2
=
16
5
,
即M(
8
5
16
5
),
∵A(4,0),
∴由勾股定理得:AM=4=AO,
即AM=AO.
點(diǎn)評:本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,勾股定理,相似三角形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的運(yùn)用,能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵,本題綜合性比較強(qiáng),有一定的難度.
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